Question

【题目】阅读下列例题的解题过程，并完成相关问题

例：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8 cm，AD＝12cm，BC＝18cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，使PQ∥CD和PQ＝CD，分别经过多长时间？为什么？

解：①设经过ts时，PQ∥CD且PQ＝CD，此时四边形PQCD为平行四边形．

∵PD＝（12－t）cm，CQ＝2t cm，

∴12－t＝2t．∴t＝4．

∴当t＝4时，PQ∥CD，且PQ＝CD．

②设经过ts时，PQ＝CD，分别过点P，D作BC边的垂线PE，DF，垂足分别为E，F．

当CF＝EQ时，四边形PQCD为梯形（腰相等）或者平行四边形．

∵∠B＝∠A＝∠DFB＝90°，

∴四边形ABFD是矩形．∴AD＝BF．

∵AD＝12 cm，BC＝18 cm，

∴CF＝BC－BF＝6 cm．

当四边形PQCD为梯形（腰相等）时，

PD＋2（BC－AD）＝CQ，

∴（12－t）＋12＝2t．∴t＝8．

∴当t＝8时，PQ＝CD．

当四边形PQCD为平行四边形时，由①知当t＝4时，PQ＝CD．

综上，当t＝4时，PQ∥CD；当t＝4或t＝8时，PQ＝CD．

问题1：在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．

问题2：从运动开始，当t取何值时，四边形PQBA是矩形？

问题3：在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQBA是正方形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．

问题4：是否存在t，使得△DQC是等腰三角形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】问题1：不存在．理由见解析；问题2：当t＝6时，四边形PQBA是矩形；问题3：不存在．理由见解析；问题4：当t＝5或6或时，△DQC是等腰三角形．

【解析】

问题1：要使四边形PQCD是菱形，则四边形PQCD一定是平行四边形，由例可知当t＝4时，四边形PQCD是平行四边形，而此时DP≠DC，从而可得出结论；

问题2：因为∠B=90°，AP∥BQ，由矩形的判定可知当AP=BQ时，四边形ABQP成为矩形，据此列方程求解即可；

问题3：要使四边形PQBA是正方形，则四边形PQBA一定是矩形．由问题2知当t＝6时，四边形PQBA是矩形，而此时AP≠AB，从而可得出结论；

问题4：分三种情况讨论计算，①当QC＝DC时；②当DQ＝DC时，过点D作DH⊥CQ；③当QD＝QC时，过点D作DH⊥CQ，分别列出方程求出时间，判断时间是否符合题意即可．

解：问题1：不存在．理由：

要使四边形PQCD是菱形，则四边形PQCD一定是平行四边形．

由例知当t＝4时，四边形PQCD是平行四边形．

此时DP＝12－t＝8≠10，即DP≠DC，

所以按已知速度运动，四边形PQCD只能是平行四边形，但不可能是菱形．

问题2：如图，由题意，得AP＝t，DP＝12－t，CQ＝2t，BQ＝18－2t．

要使四边形PQBA是矩形，已有∠B＝90°，AD∥BC，即AP∥BQ，只需满足AP＝BQ，即t＝18－2t，解得t＝6．

所以当t＝6时，四边形PQBA是矩形．

问题3：不存在．理由：

要使四边形PQBA是正方形，则四边形PQBA一定是矩形．

由问题2知当t＝6时，四边形PQBA是矩形．

此时AP＝t＝6≠8，即AP≠AB，

所以按已知速度运动，四边形PQBA只能是矩形，但不可能是正方形．

问题4：当△DQC是等腰三角形时，分三种情况：

①如图1，当QC＝DC时，即2t＝10，∴t＝5．

②如图2，当DQ＝DC时，过点D作DH⊥CQ，

则QH＝CH＝CQ＝t．

在Rt△DHC中，DH＝8，CH＝BC－AD＝6，

∴DC＝＝10，

∴t＝6．

③如图3，当QD＝QC时，过点D作DH⊥CQ，DH＝8，CH＝6，DC＝10，CQ＝QD＝2t，QH＝2t－6．

在Rt△DQH中，DH2＋QH2＝DQ2．

∴82＋（2t－6）2＝（2t）2．

解得t＝．

综上，当t＝5或6或时，△DQC是等腰三角形．