Question

【题目】（1）问题情境，如图1，△ABC的边BC在直线m上，AC⊥BC，且AC=BC，△EFP的边FP也在直线m上，边EF与边AC重合，且EF=FP，

在图1中，AB与AP的数量关系是_______，AB与AP的位置关系是_______

（2）操作发现：将△EFP沿直线m向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ，猜想并证明BQ与AP的数量关系和位置关系

（3）猜想论证：将△EFP沿直线m向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP，BQ，（2）中的结论还成立吗？为什么？

Answer 1

【答案】（1）相等，垂直（2）相等，垂直,证明略（3）成立,证明略

【解析】

（1）先说明△ABC与△EFP是全等的等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角的性质可得 ∠BAC=∠CAP=45°，则AB=AP；又∠BAP=90°，则AP⊥AB；

（2）延长BQ交AP于H点，说明△QPC为等腰直角三角形，则有QC=PC；然后判定△ACP≌△BCQ，则AP=BQ，∠BQC=∠APC，；最后根据直角三角形的性质说明∠PNB=90°即可；

（3）方法同（2）可证BQ与AP所满足的数量关系为相等，位置关系为垂直．

解：如图1：由题意得：AC⊥BC、AC=BC、EF=AC、EF=FP，

∴△ABC与△EFP是全等的等腰直角三角形

∴∠BAC=∠CAP=45°

∴AB=AP

又∵∠BAP=∠BAC＋∠CAP= 90°

∴AP⊥AB

故答案为AB=AP，AP⊥AB；

（2）证明：如图：延长BQ交AP于H点，

∵∠EPF=45

∴∠CPQ=45°

∵AC⊥BC.

∴∠COP=∠CPQ.

∴CQ=CP，即△QPC为等腰直角三角形

在Rt△BCQ和Rt△ACP中

BC=AC、∠BCQ=∠ACP， CQ=CP，

∴Rt△BCQ≌Rt△ACP（SAS）

∴BQ=AP，∠BQC=∠APC，

在Rt△BCQ中，∠BQC+∠PBN=90°

∴∠APC+∠PBN=90°

∴∠PNB=90°

∴QB⊥AP

（3）成立,理由如下：

如图3：∵∠EPF=45

∴∠CPQ=45°

∵AC⊥BC.

∴∠COP=∠CPQ.

∴CQ=CP，即△QPC为等腰直角三角形

在Rt△BCQ和Rt△ACP中

BC=AC、∠BCQ=∠ACP， CQ=CP，

∴Rt△BCQ≌Rt△ACP（SAS）

∴BQ=AP，∠BQC=∠APC，

在Rt△BCQ中，∠BQC+∠CBQ=90°

∵∠PBH=∠CBQ

∴∠APC+∠PBH=90°

∴∠PHB=180°-（∠APC+∠PBH）=90°

∴QB⊥AP