Question

【题目】如图，在△ABC中，D是BC边的中点，分别过B、C做射线AD的垂线，垂足分别为E、F，连接BF、CE．

（1）求证：四边形BECF是平行四边形；

（2）我们知道S△ABD＝S△ACD，若AF＝FD，在不添加辅助线的条件下，直接写出与△ABD、△ACD面积相等的所有三角形．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）与△ABD和△ACD面积相等的三角形有△CEF、△BEF、△BEC、△BFC．

【解析】

（1）根据全等三角形的判定和性质得出ED＝FD，进而利用平行四边形的判定证明即可；

（2）利用三角形的面积解答即可．

（1）证明：在△ABF与△DEC中

∵D是BC中点，

∴BD＝CD

∵BE⊥AE，CF⊥AE

∴∠BED＝∠CFD＝90，

在△ABF与△DEC中，

∴△BED≌△CFD（AAS），

∴ED＝FD，

∵BD＝CD，

∴四边形BFEC是平行四边形；

（2）与△ABD和△ACD面积相等的三角形有△CEF、△BEF、△BEC、△BFC．

理由：∵四边形BECF是平行四边形，

∴S△BDF＝S△BDE＝S△CDE＝S△CDF，

∵AF＝DF，

∴S△ABF＝S△BDF，S△ACF＝S△CDF

∴S△BDF＝S△BDE＝S△CDE＝S△CDF＝S△ABF＝S△ACF，

∴S△ABD＝S△ACD＝S△CEF＝S△BEF＝S△BEC＝S△BFC．