Question

已知关于x的一元二次方程x²+（m+3）x+m+1=0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）当m为何整数时，原方程的根也是整数．

Answer 1

（1）证明：△=（m+3）²-4（m+1）=m²+6m+9-4m-4=m²+2m+5=（m+1）²+4，
∵（m+1）²≥0，
∴（m+1）²+4＞0，
则无论m取何实数时，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：关于x的一元二次方程x²+（m+3）x+m+1=0，
利用公式法解得：x=，
要使原方程的根是整数，必须使得（m+1）²+4是完全平方数，
设（m+1）²+4=a²，变形得：（a+m+1）（a-m-1）=4，
∵a+m+1和a-m-1的奇偶性相同，
可得或，
解得：或，
将m=-1代入x=，得x₁=-2，x₂=0符合题意，
∴当m=-1时，原方程的根是整数．
分析：（1）表示出根的判别式，配方后得到根的判别式大于0，进而确定出方程总有两个不相等的实数根；
（2）由（1）得到方程有两个不相等的实数根，利用求根公式表示出解，要使原方程的根是整数，必须使得（m+1）²+4是完全平方数，设（m+1）²+4=a²，变形得：（a+m+1）（a-m-1）=4，由a+m+1和a-m-1的奇偶性相同，列出方程组，求出方程组的解得到a与m的值，代入解中检验即可得到满足题意m的值．
点评：此题考查了根的判别式，以及求根公式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．