Question

如图，

AC

是劣弧，M是

AC

的中点，B为

AM

上任意一点．自M向BC弦引垂线，垂足为D，求证：AB+BD=DC．

Answer 1

考点：圆周角定理,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质,圆心角、弧、弦的关系

专题：证明题

分析：首先在CD上取点N，使CN=AB，连接CM，MN，然后证明△ABM≌△CNM，从而得到BM=MN，再根据等腰三角形的性质可得BD=ND，进而可得AB+BD=DC．

解答：证明：在CD上取点N，使CN=AB，连接CM，MN
∵M是

AC

的中点，
∴

AM

=

CM

，
∴AM=CM（等弧对等弦），
又∵∠BAM=∠BCM，
在△ABM和△CNM中，

CN=AB ∠BAM=∠BCM AM=CM

，
∴△ABM≌△CNM（SAS），
∴BM=MN，
∴△BMN为等腰三角形（BN为底），
又∵MD⊥BN，
∴D为BN中点（等腰三角形三线合一），
∴BD=DN
∴AB+BD=CD．

点评：此题主要考查了圆周角定理，以及全等三角形的判定与性质，关键是正确作出辅助线．