Question

如图，正方形ABCD的边长为3，延长CB到点M，使BM=1，连接AM，过点B作BN⊥AM，垂足为N，O是对角线AC、BD的交点，连接ON，则ON的长为

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：

分析：由条件可证得△ABN∽△BNM∽△ABM，且可求得AM=

10

，利用对应线段的比相等可求得AN和MN，进一步可得到

AO

AM

=

AN

AC

，且∠CAM=∠NAO，可证得△AON∽△AMC，利用相似三角形的性质可求得ON．

解答：解：∵AB=3，BM=1，
∴AM=

10

，
∵∠ABM=90°，BN⊥AM，
∴△ABN∽△BNM∽△ABM，
∴AB²=AN×AM，BM2=MN×AM，
∴AN=

9 10

10

，MN=

10

10

，
∵AB=3，CD=3，
∴AC=3

2

，
∴AO=

3 2

2

，
∵

AO

AM

=

3 5

10

，

AN

AC

=

3 5

10

，
∴

AO

AM

=

AN

AC

，且∠CAM=∠NAO
∴△AON∽△AMC，
∴

ON

MC

=

AO

AM

=

3 5

10

，
∴ON=

6 5

5

．
故答案为：

6 5

5

．

点评：本题主要考查三角形相似的判定和性质，由相似得到线段的比相等再证明相似是本题的关键．