Question

如图，在等边△ABC中，∠BDC+∠CBE=180°，BD=BE，AD：DC=3：1，求BM：CM．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：如图，作DF∥AB交BC于F点，连接EF，先由“SAS”证明△BEF≌△DBA，得到∠BFE=∠DAB=60°=∠ABC，且EF=AB，再由“AAS”证明△MEF≌△MAB，得到MB=MF，最后由AD：DC=3：1，得到BM与MC的关系，即可．

解答：解：如图，作DF∥AB交BC于F点，连接EF，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°，
∵DF∥AB，
∴∠CDF=∠CAB=60°，∠DFC=∠ABC=60°，
∴△DFC是等边三角形，
∴DC=FC，AD=BF，
∵AD：DC=3：1，
∴BF：FC=3：1，
∵∠BDC+∠CBE=180°，∠BDC+∠ADB=180°，
∴∠CBE=∠ADB，
在△BEF和△DBA中，

BD=BE ∠ADB=∠FBE AD=BF

，
∴△BEF≌△DBA（SAS）．
∴∠BFE=∠DAB=60°=∠ABC，且EF=AB，
在△MEF和△MAB中，

∠ABC=∠BFE ∠AMB=∠EMF AB=EF

，
∴△MEF≌△MAB（AAS），
∴MB=MF，
∴BM=

1

2

BF，
∵BF：FC=3：1，
∴BF=

3

4

BC，
∴BM=

3

8

BC，
∴MC=

5

8

BC，
∴BM：CM=3：5．

点评：本题考查的知识点有：全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质．解题关键是作辅助线，构造全等三角形．