Question

等腰直角三角形ABC中，AC=AB，∠BAC=90°，点D、E分别为AB、BC上的点，过点D作DG⊥BC，垂足为G，且AE=DE．
（1）在图1中，求证：BG+CE=GE；
（2）在图2中，延长GD交CA的延长线于点H，若DH=EG，猜想△ADH与△AEC的面积之间的数量关系并证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）如图1，在GE上截取GH=GB，连结DH．根据等腰直角三角形的性质得出∠B=∠C=45°，由DG是BH的垂直平分线得出∠DHB=∠B=45°，于是∠DHE=180°-45°=135°．再过点E作EF⊥BC交AC于点F，由∠EFC=∠C=45°，得出∠AFE=180°-45°=135°，那么∠DHE=∠AFE．由EA=ED，得出∠ADE=∠DAE，那么∠HDE=∠EAC．然后根据AAS证明△EDH≌△EAF，得到EH=EF，而EF=EC，于是EC+BG=EH+GH=GE；
（2）如图2，设AH=a，由勾股定理得到HD=GE=

2

a，由（1）知，BG+CE=GE=

2

a，那么BC=2

2

a，过点A作AP⊥BC与P，AP=

2

a，分别求出S_△AEC=

1

2

CE•AP=

1

2

a2，S_△ADH=

1

2

AD•AH=

1

2

a2，即可得到S_△ADH=S_△AEC．

解答：（1）证明：如图1，在GE上截取GH=GB，连结DH．
∵等腰直角三角形ABC中，AC=AB，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°．
∵DG⊥BC，∠DHB=∠B=45°，
∴∠DHE=180°-45°=135°．
过点E作EF⊥BC交AC于点F，
∴∠EFC=∠C=45°，
∴∠AFE=180°-45°=135°，
∴∠DHE=∠AFE．
∵EA=ED，
∴∠ADE=∠DAE，
∴∠HDE=∠EAC．
在△EDH与△EAF中，

∠DHE=∠AFE ∠HDE=∠FAE ED=EA

，
∴△EDH≌△EAF（AAS），
∴EH=EF，
∵EF=EC，
∴EC+BG=EH+GH=GE；

（2）解：S_△ADH=S_△AEC．理由如下：
如图2，设AH=a，则HD=GE=

2

a，
由（1）知，BG+CE=GE=

2

a，
∴BC=2

2

a，
∴AC=AB=2a，
∴DB=a，BG=

2

2

a，CE=

2

2

a．
过点A作AP⊥BC与P，AP=

2

a，
∴S_△AEC=

1

2

CE•AP=

1

2

×

2 a

2

×

2

a=

1

2

a2，
∵S_△ADH=

1

2

AD•AH=

1

2

a•a=

1

2

a2，
∴S_△ADH=S_△AEC．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积，有一定难度．准确作出辅助线，利用数形结合思想是解题的关键．