Question

如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则下列说法：①DA平分∠EDF；②AE=AF，DE=DF；③AD上任意一点到B、C两点的距离相等；④图中共有3对全等三角形，其中正确的有

 

．

Answer 1

考点：等腰三角形的性质,全等三角形的判定,角平分线的性质

专题：

分析：由等腰三角形的性质结合条件可证明△ADE≌△ADF，可判断①②正确，结合条件可知AD是BC的垂直平分线，可判定③正确，结合条件可证明△BDE≌△CDF，△ABD≌△ACD，可判断④正确．

解答：解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DAE=∠DAF，∠DEA=∠DFA，
在△ADE和△ADF中，

∠DAE=∠DAF ∠DEA=∠DFA AD=AD

，
∴△ADE≌△ADF（AAS），
∴AE=AF，DE=DF，∠ADE=∠ADF，
∴①②正确；
又∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，
∴AD垂直平分线段BC，
∴③正确；
在△ABD和△ACD中，

AB=AC ∠BAD=∠CAD AD=AD

，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
在Rt△BDE和Rt△CDF中，

DE=DF BD=CD

，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴全等的三角形共有三对，
∴④正确，
综上可知正确的为①②③④，
故答案为：①②③④．

点评：本题主要考查等腰三角形的性质和全等三角形的判定，掌握全等三角形底边上的中线、底边上的高和顶角的角平分线相互重合是解题的关键．