Question

【题目】如图所示，已知中，，，，、是的边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为．

（1）则____________；

（2）当为何值时，点在边的垂直平分线上？此时_________?

（3）当点在边上运动时，直接写出使成为等腰三角形的运动时间．

Answer 1

【答案】（1）12；（2）t=12.5s时，13 cm；（3）11s或12s或13.2s

【解析】

（1）由勾股定理即可得出结论；

（2）由线段垂直平分线的性质得到PC= PA=t，则PB=16-t．在Rt△BPC中，由勾股定理可求得t的值，判断出此时，点Q在边AC上，根据CQ=2t-BC计算即可；

（3）用t分别表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分BQ=BC、CQ=BC和BQ=CQ三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值．

（1）在Rt△ABC中，BC(cm)．

故答案为：12；

（2）如图，点P在边AC的垂直平分线上时，连接PC，

∴PC= PA=t，PB=16-t．

在Rt△BPC中，，即，

解得：t=．

∵Q从B到C所需的时间为12÷2=6(s)，＞6，

∴此时，点Q在边AC上，CQ=(cm)；

（3）分三种情况讨论：

①当CQ=BQ时，如图1所示，

则∠C=∠CBQ．

∵∠ABC=90°，

∴∠CBQ+∠ABQ=90°，∠A+∠C=90°，

∴∠A=∠ABQ，

∴BQ=AQ，

∴CQ=AQ=10，

∴BC+CQ=22，

∴t=22÷2=11(s)．

②当CQ=BC时，如图2所示，

则BC+CQ=24，

∴t=24÷2=12(s)．

③当BC=BQ时，如图3所示，

过B点作BE⊥AC于点E，

则BE，

∴CE=7.2．

∵BC=BQ，BE⊥CQ，

∴CQ=2CE=14.4，

∴BC+CQ=26.4，

∴t=26.4÷2=13.2(s)．

综上所述：当t为11s或12s或13.2s时，△BCQ为等腰三角形．