Question

如图，△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm．点P从点B以1cm/s的速度向点C运动，点Q从点C以2cm/s的速度向点A运动，两点同时出发，运动的时间为t秒（0≤t≤5）．过点Q作直线QD∥BC，交AB于点D，连接PD、PQ．
（1）用含有t的代数式表示DQ的长；
（2）是否存在某一时刻t，使得△DPQ为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）以线段PC为直径作⊙O．
①在运动过程中，求当动点Q在⊙O内部时t的取值范围；
②连接OD，交线段PQ于点E，求点E恰好落在⊙O上时t的值．

Answer 1

分析：（1）因为QD∥BC，所以可以利用△ADQ∽△ABC的线段比例关系表示出DQ的长．
（2）利用三角形相似求出DB，DP的长，利用勾股定理建立等量关系求出其解．
（3）利用三角形相似求出PQ的长，在直角三角形PQC中利用勾股定理建立等量关系求出t的值以及在△BOD中利用勾股定理建立关系求出其解．

解答：解：（1）当运动t秒时，QC=2t
在Rt△ABC中，AB=8cm，BC=6cm，
由勾股定理得：AC²=8²+6²
解得AC=10cm
∴AQ=10-2t
∵QD∥BC
∴△ADQ∽△ABC
∴

DQ

BC

=

AQ

AC

∴

DQ

6

=

10-2t

10

∴DQ=

30-6t

5

；

（2）作QE⊥BC于E
可得△CQE∽△CAB
∴

QE

AB

=

CQ

AC

∴

QE

8

=

2t

10

∴QE=

8

5

t
∴DB=

8t

5

∵△DPQ为直角三角形即，∠DPQ=90°或∠DQP=90°，
当∠DPQ=90°时，
∴∠PDQ+PQD=90°
∵∠PDB+∠PDQ=90°
∴∠PQD=∠PDB
∴△PDB∽△DQP
∴

BP

DP

=

DP

DQ

∴

t

DP

=

DP

30-6t 5

∴DP²=

30t-6t2

5

在Rt△BPD中，由勾股定理得
BP²+BD²=DP²
∴

30t-6t2

5

=(

8t

5

)2+t2
解得：t₁=

150

119

，t₂=0（舍去）；
当∠DQP=90°时，P与E重合，
设运动的时间是t，则BE=t，CE=6-t，
CQ=2t，
∵△CQE∽△CAB，
∴

2t

10

=

6-t

6

，解得：t=

30

11

，
综上，t=

150

119

或

30

11

；


（3）①当运动t秒后⊙O与AC相交于Q点，
∴∠PQC=90°
∴△PQC∽△ABC
∴

PQ

AB

=

QC

BC

∴

PQ

8

=

2t

6

∴PQ=

8t

3

由勾股定理得；
(

8t

3

)2+(2t)2=(6-t)2
∴t1=-

18

7

(不符合题意)，t2=

18

13

∴当0＜t＜

18

13

时，点Q在⊙O内部．

②当线段DO交PQ于点E且点E恰好落在⊙O上时．
△DQE∽△OPE
∴

PO

DQ

=

OE

DE

∴

6-t 2

DE

=

6-t 2

30-6t 5

∴DE=

30-6t

5

∴DO=

90-17t

10

在Rt△BOD中，由勾股定理得：
BD²+BO²=DO²
∴(

8t

5

)2+ (

6+t

2

)2=(

90-17t

10

)2
解得：t1=210+120

3

(不符合题意)，t2=210-120

3

．
∴当线段DO交PQ于点E且点E恰好落在⊙O上时，t=210-120

3

．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理的运用以及点和圆的位置关系，动点问题与直角三角形和相似三角形的关系．本题难度较大．