Question

已知关于x的一元二次方程x²-mx+m-1=0．
（1）求证：无论m取任何实数时，方程总有实数根；
（2）关于x的二次函数y1=x2-mx+m-1的图象C₁经过（k-1，k²-6k+8）和（-k+5，k²-6k+8）两点．
①求这个二次函数的解析式；
②把①中的抛物线C₁沿x轴翻折后，再向左平移2个单位，向上平移8个单位得到抛物线C₂．设抛物线C₂交x轴于M、N两点（点M在点N的左侧），点P（a，b）为抛物线C₂在x轴上方部分图象上的一个动点．当∠MPN≤45°时，直接写出a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）通过一元二次方程根的判别式即可证明．
（2）①根据x=

x1+x2

2

和x=-

b

2a

即可求得m的值，进而求得解析式．
②作出△MNP的外接圆，找出圆心为（0，3），然后根据勾股定理即可求得．

解答：（1）证明：在x²-mx+m-1=0中，△=m²-4（m-1）=m²-4m+4=（m-2）²
∵当m取任何值时，（m-2）²≥0，
∴无论m取任何实数时，方程总有实数根．

（2）解：①∵抛物线y1=x2-mx+m-1过点（k-1，k²-6k+8）和点（-k+5，k²-6k+8）．
∴抛物线y1=x2-mx+m-1，
∵对称轴为：x=

(k-1)+(-k+5)

2

=2，
∴x=

m

2

=2，解得m=4．
∴y1=x2-4x+3

②如图所示：-

2

≤a≤

2

；

∵y1=x2-4x+3=（x-2）-1²，
∴抛物线C₁沿x轴翻折后，再向左平移2个单位，向上平移8个单位得到抛物线C₂为y₂=-x²+9，
∴M（-3，0），N（3，0），
作出△MNP的外接圆，过N点作AN⊥x轴，交圆于A，连接AM交y轴于Q点，Q既是圆心，
∵∠A=∠MPN=45°
∴∠OMQ=45°，
∴Q（0，3），
∴PQ=MQ=3

2

，
∵P（a，-a²+9），
∴PQ²=a²+（-a²+9-3）²=（3

2

）²
即a⁴-11a²+18=0，解得a=

2

或a=-

2

，或a=3（舍去），a=-3（舍去），
故-

2

≤a≤

2

；

点评：本题考查了二次方程的根的判别式以及抛物线的顶点坐标的求法，构建等腰直角三角形是本题的关键．