【题目】如图,在边长为8的正方形ABCD中,点O为AD上一动点(4<OA<8),以O为圆心,OA的长为半径的圆交边CD于点M,连接OM,过点M作⊙O的切线交边BC于N.
(1)求证:△ODM∽△MCN;
(2)设DM=x,求OA的长(用含x的代数式表示);
(3)在点O的运动过程中,设△CMN的周长为P,试用含x的代数式表示P,你能发现怎样的结论?
【答案】
(1)
证明:∵MN切⊙O于点M,
∴∠OMN=90°;
∵∠OMD+∠CMN=90°,∠CMN+∠CNM=90°;
∴∠OMD=∠MNC;
又∵∠D=∠C=90°;
∴△ODM∽△MCN
(2)
解:在Rt△ODM中,DM=x,设OA=OM=R;
∴OD=AD﹣OA=8﹣R,
由勾股定理得:(8﹣R)2+x2=R2,∴64﹣16R+R2+x2=R2,
∴ ;
(3)
解法一:∵CM=CD﹣DM=8﹣x,
又∵ ,
且有△ODM∽△MCN,
∴ ,
∴代入得到 ;
同理 ,
∴代入得到 ;
∴△CMN的周长为P= =(8﹣x)+(x+8)=16.
发现:在点O的运动过程中,△CMN的周长P始终为16,是一个定值.
解法二:在Rt△ODM中, ,
设△ODM的周长P′= ;
而△MCN∽△ODM,且相似比 ;
∵ ,
∴△MCN的周长为P= .
发现:在点O的运动过程中,△CMN的周长P始终为16,是一个定值.
【解析】(1)依题意可得∠OMC=∠MNC,然后可证得△ODM∽△MCN.(2)设DM=x,OA=OM=R,OD=AD﹣OA=8﹣R,根据勾股定理求出OA的值.(3)由1可求证△ODM∽△MCN,利用线段比求出CN,MN的值.然后可求出△CMN的周长等于CM+CN+MN,把各个线段消去代入可求出周长.
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【题目】国家环保局统一规定,空气质量分为5级.当空气污染指数达0﹣50时为1级,质量为优;51﹣100时为2级,质量为良;101﹣200时为3级,轻度污染;201﹣300时为4级,中度污染;300以上时为5级,重度污染.泰州市环保局随机抽取了2015年某些天的空气质量检测结果,并整理绘制成如下两幅不完整的统计图.请根据图中信息,解答下列各题:
(1)本次调查共抽取了天的空气质量检测结果进行统计;
(2)补全条形统计图;
(3)扇形统计图中3级空气质量所对应的圆心角为°;
(4)如果空气污染达到中度污染或者以上,将不适宜进行户外活动,根据目前的统计,请你估计2015年该城市有多少天不适宜开展户外活动.(2015年共365天)
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【题目】“校园手机”现象越来越受到社会的关注.为了了解学生和家长对中学生带手机的态度,某记者随机调查了城区若干名学生和家长的看法,调查结果分为:赞成、无所谓、反对,并将调查结果绘制成如下不完整的统计表和统计图:学生及家长对中学生带手机的态度统计表
对象 | 赞成 | 无所谓 | 反对 |
学生 | 80 | 30 | 90 |
家长 | 40 | 80 | A |
根据以上图表信息,解答下列问题:
(1)统计表中的A.
(2)统计图中表示家长“赞成”的圆心角的度数
(3)从这次接受调查的学生中,随机抽查一个,恰好是持“反对”态度的学生的概率是多少?
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【题目】如图,在矩形ABCD中,O为AC中点,EF过点O且EF⊥AC分别交DC于点F,交AB于点E,点G是AE中点且∠AOG=30°,给出以下结论: ①∠AFC=120°;
②△AEF是等边三角形;
③AC=3OG;
④S△AOG= S△ABC
其中正确的是 . (把所有正确结论的序号都选上)
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【题目】如图,在ABCD中,AC与BD相交于点O,E为OD的中点,连接AE并延长交DC于点F,则S△DEF:S△AOB的值为( )
A.1:3
B.1:5
C.1:6
D.1:11
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【题目】王老师从家门口骑车去单位上班,先走平路到达A地,再上坡到达B地,最后下坡到达工作单位,所用的时间与路程的关系如图所示.若王老师下班时,还沿着这条路返回家中,回家途中经过平路、上坡、下坡的速度不变,那么王老师回家需要的时间是( )
A.15分钟
B.14分钟
C.13分钟
D.12分钟
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