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【题目】如图,在边长为8的正方形ABCD中,点O为AD上一动点(4<OA<8),以O为圆心,OA的长为半径的圆交边CD于点M,连接OM,过点M作⊙O的切线交边BC于N.

(1)求证:△ODM∽△MCN;
(2)设DM=x,求OA的长(用含x的代数式表示);
(3)在点O的运动过程中,设△CMN的周长为P,试用含x的代数式表示P,你能发现怎样的结论?

【答案】
(1)

证明:∵MN切⊙O于点M,

∴∠OMN=90°;

∵∠OMD+∠CMN=90°,∠CMN+∠CNM=90°;

∴∠OMD=∠MNC;

又∵∠D=∠C=90°;

∴△ODM∽△MCN


(2)

解:在Rt△ODM中,DM=x,设OA=OM=R;

∴OD=AD﹣OA=8﹣R,

由勾股定理得:(8﹣R)2+x2=R2,∴64﹣16R+R2+x2=R2


(3)

解法一:∵CM=CD﹣DM=8﹣x,

又∵

且有△ODM∽△MCN,

∴代入得到

同理

∴代入得到

∴△CMN的周长为P= =(8﹣x)+(x+8)=16.

发现:在点O的运动过程中,△CMN的周长P始终为16,是一个定值.

解法二:在Rt△ODM中,

设△ODM的周长P′=

而△MCN∽△ODM,且相似比

∴△MCN的周长为P=

发现:在点O的运动过程中,△CMN的周长P始终为16,是一个定值.


【解析】(1)依题意可得∠OMC=∠MNC,然后可证得△ODM∽△MCN.(2)设DM=x,OA=OM=R,OD=AD﹣OA=8﹣R,根据勾股定理求出OA的值.(3)由1可求证△ODM∽△MCN,利用线段比求出CN,MN的值.然后可求出△CMN的周长等于CM+CN+MN,把各个线段消去代入可求出周长.

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(2)补全条形统计图;
(3)扇形统计图中3级空气质量所对应的圆心角为°;
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对象
人数
态度

赞成

无所谓

反对

学生

80

30

90

家长

40

80

A


根据以上图表信息,解答下列问题:
(1)统计表中的A.
(2)统计图中表示家长“赞成”的圆心角的度数
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