【题目】如图,在矩形ABCD中,O为AC中点,EF过点O且EF⊥AC分别交DC于点F,交AB于点E,点G是AE中点且∠AOG=30°,给出以下结论: ①∠AFC=120°;
②△AEF是等边三角形;
③AC=3OG;
④S△AOG= S△ABC
其中正确的是 . (把所有正确结论的序号都选上)
【答案】①②④
【解析】解:∵四边形ABCD是矩形, ∴AB∥CD,∠B=90°,
∴∠FCA=∠OAG,
∵O为AC中点,EF⊥AC,
∴AF=CF,
∴∠FAC=∠FCA,
∵点G是AE中点且∠AOG=30°,
∴OG= AE=AG,
∴∠OAG=∠AOG=30°,
∴∠FCA=∠FAC=30°,
∴∠AFC=180°﹣30°﹣30°=120°,①正确;
∵∠FAE=30°+30°=60°,∠AEO=90°﹣30°=60°,
∴∠AFE=60°,
∴△AEF是等边三角形,②正确;
∵∠OAG=30°,EF⊥AC,
∴AE=2OE=2OG,
∴OA= OE= OG,
∴AC=2OA=2 OG,③不正确;
∵点G是AE中点,
∴S△AOG= S△AOE ,
∵∠AOE=90°=∠B,∠OAE=∠BAC,
∴△AOE∽△ABC,相似比为 = = = ,
∴ =( )= ,
∴S△AOG= S△ABC , ④正确;
故答案为:①②④.
由矩形的性质得出AB∥CD,∠B=90°,得出∠FCA=∠OAG,由线段垂直平分线的性质得出AF=CF,得出∠FAC=∠FCA,由直角三角形的性质得出OG= AE=AG,得出∠OAG=∠AOG=30°,求出∠FCA=∠FAC=30°,再由三角形内角和定理得出①正确;求出∠FAE=∠AEO=∠AFE=60°,得出△AEF是等边三角形,②正确;由含30°角的直角三角形的性质和勾股定理得出OA= OE= OG,得出AC=2OA=2 OG,③不正确;由中点的性质得出S△AOG= S△AOE , 证明△AOE∽△ABC,得出 = ,得出S△AOG= S△ABC , ④正确,即可得出结论.
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【题目】如图,一次函数y=kx+b的图象与坐标轴分别交于A、B两点,与反比例函数y= 的图象在第一象限的交点为C,CD⊥x轴,垂足为D,若OB=3,OD=6,△AOB的面积为3.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式;
(2)直接写出当x>0时,kx+b﹣ <0的解集.
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【题目】【阅读】
如图1,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(a,0)(a>0),B(2,3),C(0,3).过原点O作直线l,使它经过第一、三象限,直线l与y轴的正半轴所成角设为θ,将四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠,点C落在点D处,我们把这个操作过程记为FZ[θ,a].
(1)【理解】
若点D与点A重合,则这个操作过程为FZ[ , ];
(2)【尝试】
若点D恰为AB的中点(如图2),求θ;
(3)经过FZ[45°,a]操作,点B落在点E处,若点E在四边形0ABC的边AB上,求出a的值;若点E落在四边形0ABC的外部,直接写出a的取值范围;
(4)【探究】
经过FZ[θ,a]操作后,作直线CD交x轴于点G,交直线AB于点H,使得△ODG与△GAH是一对相似的等腰三角形,直接写出FZ[θ,a].
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【题目】李明为好友制作了一个如图所示的正方体礼品盒,在六个面上各有一字,连起来就是“祝取得好成绩”,其中“祝”的对面是“得”,“成”的对面是“绩”,则它的平面展开图可能是( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】如图,在边长为8的正方形ABCD中,点O为AD上一动点(4<OA<8),以O为圆心,OA的长为半径的圆交边CD于点M,连接OM,过点M作⊙O的切线交边BC于N.
(1)求证:△ODM∽△MCN;
(2)设DM=x,求OA的长(用含x的代数式表示);
(3)在点O的运动过程中,设△CMN的周长为P,试用含x的代数式表示P,你能发现怎样的结论?
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【题目】如图,四边形ABCD内接于⊙O,F是 上一点,且 = ,连接CF并延长交AD的延长线于点E,连接AC,若∠ABC=105°,∠BAC=25°,则∠E的度数为( )
A.45°
B.50°
C.55°
D.60°
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【题目】如图,已知在平面直角坐标系xOy中,O是坐标原点,点A是函数y1= (x<0)图象上一点,AO的延长线交函数y2= (x>0,k<0)的y2图象于点B,BC⊥x轴,若S△ABC= ,求函数y2 .
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【题目】如图,已知抛物线y=﹣ x2+bx+c与x轴相交于点A,B(4,0),与y轴相交于点C,直线y=﹣x+3经过点C,与x轴相交于点D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P为第一象限抛物线上一点,过点P作x轴的垂线,垂足为点E,PE与线段CD相交于点G,过点G作y轴的垂线,垂足为点F,连接EF,过点G作EF的垂线,与y轴相交于点M,连接ME,MD,设△MDE的面积为S,点P的横坐标为t,求S与t的函数关系式;
(3)在(2)的条件下,过点B作直线GM的垂线,垂足为点K,若BK=OD,求:t值及点P到抛物线对称轴的距离.
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