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【题目】如图,在矩形ABCD中,O为AC中点,EF过点O且EF⊥AC分别交DC于点F,交AB于点E,点G是AE中点且∠AOG=30°,给出以下结论: ①∠AFC=120°;
②△AEF是等边三角形;
③AC=3OG;
④SAOG= SABC
其中正确的是 . (把所有正确结论的序号都选上)

【答案】①②④
【解析】解:∵四边形ABCD是矩形, ∴AB∥CD,∠B=90°,
∴∠FCA=∠OAG,
∵O为AC中点,EF⊥AC,
∴AF=CF,
∴∠FAC=∠FCA,
∵点G是AE中点且∠AOG=30°,
∴OG= AE=AG,
∴∠OAG=∠AOG=30°,
∴∠FCA=∠FAC=30°,
∴∠AFC=180°﹣30°﹣30°=120°,①正确;
∵∠FAE=30°+30°=60°,∠AEO=90°﹣30°=60°,
∴∠AFE=60°,
∴△AEF是等边三角形,②正确;
∵∠OAG=30°,EF⊥AC,
∴AE=2OE=2OG,
∴OA= OE= OG,
∴AC=2OA=2 OG,③不正确;
∵点G是AE中点,
∴SAOG= SAOE
∵∠AOE=90°=∠B,∠OAE=∠BAC,
∴△AOE∽△ABC,相似比为 = = =
=( )=
∴SAOG= SABC , ④正确;
故答案为:①②④.
由矩形的性质得出AB∥CD,∠B=90°,得出∠FCA=∠OAG,由线段垂直平分线的性质得出AF=CF,得出∠FAC=∠FCA,由直角三角形的性质得出OG= AE=AG,得出∠OAG=∠AOG=30°,求出∠FCA=∠FAC=30°,再由三角形内角和定理得出①正确;求出∠FAE=∠AEO=∠AFE=60°,得出△AEF是等边三角形,②正确;由含30°角的直角三角形的性质和勾股定理得出OA= OE= OG,得出AC=2OA=2 OG,③不正确;由中点的性质得出SAOG= SAOE , 证明△AOE∽△ABC,得出 = ,得出SAOG= SABC , ④正确,即可得出结论.

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(2)【尝试】
若点D恰为AB的中点(如图2),求θ;

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(4)【探究】
经过FZ[θ,a]操作后,作直线CD交x轴于点G,交直线AB于点H,使得△ODG与△GAH是一对相似的等腰三角形,直接写出FZ[θ,a].

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A.
B.
C.
D.

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(3)在点O的运动过程中,设△CMN的周长为P,试用含x的代数式表示P,你能发现怎样的结论?

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A.45°
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C.55°
D.60°

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