Question

5．如图，O是坐标原点，过点A（-1，0）的抛物线y=x²-bx-3与x轴的另一个交点为B，与y轴交于点C，其顶点为D点
（1）求b的值；
（2）连接BD，CD，平面内有一点Q（m，n），当四边形BQCD是平行四边形时，求m，n的值．

Answer 1

分析 （1）把A点坐标代入抛物线解析式可求得b的值；
（2）①可先求得OB、OC和BE的长，再利用平行四边形的性质证明△QFC≌△BED，可证明FQ=2，可求得m的值；

解答 解：（1）把A（-1，0）代入y=x²-bx-3，可得1+b-3=0，解得b=2；
（2）①设抛物线的对称轴与x轴交于点E．
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴D（1，-4），则OE=1，DE=4，
令x=0得，y=-3；令y=0得，x²-2x-3=0．
解得x=-1或x=3．
∴OB=3，OC=3，BE=2，
如图1，过C作BD的平行线与直线y=1相交，则交点必为Q，设直线y=1与y轴交于点F，则CF=4．

∵DE∥FC，
∴∠FCQ=∠EDB．
又∵CF=4=DE，∠QFC=90°=∠BED，
在△QFC和△△BED中
$\left\{\begin{array}{l}{∠FCQ=∠EDB}\\{CF=DE}\\{∠QFC=∠BED}\end{array}\right.$
∴△QFC≌△BED，
∴CQ=BD，FQ=EB=2，
∴m=FQ=2，n=1．

点评 本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、平行四边形的性质、直线和圆的位置关系、三角函数的定义等知识点．在（2）①中构造三角形全等证得FQ=EB=2是解题的关键，