Question

如图，已知y=-x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，P为双曲线y=

1

2x

（x＞0）的点，PM⊥x轴交AB于E，PN⊥y轴交线段AB于F，连接OE，OF，求证：∠EOF=45°．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：证明题

分析：首先设P（a，b），由E和F都在直线y=-x+1上，可求得BE=

2

a，AF=

2

b，又由直线y=-x+1分别交x轴、y轴于A，B两点，可得△AOB为等腰直角三角形，易证得△AOF∽△BEO，即可得∠FOE=∠OBE=45°．

解答：证明：设P（a，b），
则OM=a，PM=b，
∴点E的横坐标为a，F的纵坐标为b，
又∵E和F都在直线y=-x+1上，
∴点E（a，1-a），点F（1-b，b），
即OM=a，EM=1-a，ON=b，NF=1-b，
∵BE=

a2+(1-1+a)2

=

2

a，AF=

(1-1+b)2+b2

=

2

b，
∵直线y=-x+1分别交x轴、y轴于A，B两点，
∴令x=0，求出y=1，即B（0，1）；令y=0，求出x=1，即A（1，0），
∵OA=OB=1，且∠AOB=90°，
即△AOB为等腰直角三角形，
∴∠FAO=∠EBO=45°，
∵点P（a，b）是曲线y=

1

2x

上一点，
∴2ab=1，
即AF•BE=

2

a•

2

b=2ab=1，
又∵OA•OB=1，
∴

AF

OB

=

OA

BE

，
∴△AOF∽△BEO，
∴∠AFO=∠BOE，
又∵∠BOE=∠BOF+∠FOE，∠AFO=∠OBF+∠BOF，
∴∠FOE=∠OBE=45°．

点评：此题属于反比例函数综合题，考查了等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质以及点与函数的关系．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．