Question

【题目】已知二次函数，其中a＞0．

（1）若方程有两个实根，且方程有两个相等的实根，求二次函数的解析式；

（2）若二次函数的图象与x轴交于两点，且当时，恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）二次函数的解析式为；（2）实数m的取值范围为．

【解析】

（1）先分别根据一元二次方程的根的定义、根的判别式列出等式求出a、b、c的值，由此即可得出答案；

（2）先得出二次函数的表达式，再求出其对称轴，然后根据二次函数的增减性、对称轴分三种情况讨论，分别列出不等式（或不等式组）求解即可得．

（1）由题意得

由②①得，解得

将代入①得，解得

将，代入③得

整理得

解得或（不符题意，舍去）

则，

故二次函数的解析式为；

（2）由题意得：是方程的两个根

则，

解得，

因此，二次函数的解析式为

此二次函数的对称轴为，开口方向向上；当时，y随x的增大而减小；当时，y随x增大而增大

分以下三种情况：

①当，即时

此时，在时，y随x的增大而减小

要使当时，恒成立，则当时，y的值小于或等于0

即

解得

则

②当，即时

此时，在时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大

要使当时，恒成立，则当和时，y的值小于或等于0

即

解得

则

③当，即时

此时，在时，y随x的增大而增大

要使当时，恒成立，则当时，y的值小于或等于0

即

解得

则

综上，实数m的取值范围为．