【题目】如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图像分别交x、y轴于点A、B,抛物线
经过点A、B,点P为第四象限内抛物线上的一个动点.
(1)求此抛物线对应的函数表达式;
(2)如图1所示,过点P作PM∥y轴,分别交直线AB、x轴于点C、D,若以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似,求点P的坐标;
(3)如图2所示,过点P作PQ⊥AB于点Q,连接PB,当△PBQ中有某个角的度数等于∠OAB度数的2倍时,请直接写出点P的横坐标.
【答案】(1)抛物线对应的函数表达式为;(2)P的坐标为
或
;(3)点P的横坐标为3或
.
【解析】
(1)先利用一次函数求出A,B两点的坐标,然后用待定系数法即可求出抛物线的表达式;
(2)分两种情况:若,则
;若
,则
,分情况进行讨论即可;
(3)分两种情况,和
,分情况进行讨论即可.
(1)令 时,
,
∴ ,
令 时,
,解得
,
∴ ,
将点A,B代入中得
解得
∴抛物线对应的函数表达式为.
(2)设 ,
若,则
,
此时P点的纵坐标与B点的纵坐标相同,
∴,
解得(舍去)或
,
∴,
若,则
,作PQ⊥OB于点Q,
,
,
,
,
∵,
,
∴ ,
,
即,
解得(舍去)或
∴
综上所述,P的坐标为或
.
(3)若,过点B作BC∥OA交PQ于点C,过点P作PD⊥OB于点D
∵BC∥OA
∴
设
∴
解得(舍去)或
∴
若,如图,取AB的中点E,连接OE,过P作PG⊥x轴于G,交直线AB于H,过O作OF⊥AB于F,连接AP,则∠BPQ=∠OEF,
设点,则
,
,
,
,
,
则有,
,
,
,
即
,
,
,
化简得:,即
,
解得:(舍去),
.
综上,存在点P,使得△PBQ中有某个角的度数等于∠OAB度数的2倍时,其P点的横坐标为3或.
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【题目】如图,点在直线
上,过点
作
,且
,点
在射线
上(点
不与点
重合),且满足
,
,
与
交于点
,过点
作
于点
.设
.
(1)用含的代数式表示
的长;
(2)①线段的长是________;
②线段的长是_________;(用含
的代数式表示)
(3)当为何值时,
有最小值?并求出这个最小值.
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【题目】某商场以每件10元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数,其函数图像如图所示.
(1)求商场每天销售这种商品的销售利润y(元)与每件的销售价x(元)之间的函数解析式;
(2)试判断,每件商品的销售价格在什么范围内,每天的销售利润随着价格的提高而增加.
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【题目】已知二次函数,其中a>0.
(1)若方程有两个实根
,且方程
有两个相等的实根,求二次函数的解析式;
(2)若二次函数的图象与x轴交于
两点,且当
时,
恒成立,求实数m的取值范围.
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【题目】以矩形的顶点
为坐标原点建立平面直角坐标系,使点
、
分别在
、
轴的正半轴上,双曲线
的图象经过
的中点
,且与
交于点
,过
边上一点
,把
沿直线
翻折,使点
落在矩形内部的一点
处,且
,若点
的坐标为(2,4),则
的值为______.
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【题目】如图,直线与
轴交于点
,抛物线
与
轴的一个交点为
(点
在点
的左侧),过点
作
垂直
轴交直线
于点
.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)将绕点
顺时针旋转
,点
的对应点分别为点
①求点的坐标;
②将拋物线向右平移使它经过点
,此时得到的抛物线记为
,求出抛物线
的函数表达式.
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【题目】在平面直角坐标系中,点,点
在
轴上,以点
为直角顶点作等腰直角
..当点
落在某函数的图象上时,称点
为该函数的“悬垂点”,
为该函数的“悬垂等腰直角三角形”.
(1)若点是函数
的悬垂点,直接写出点
的横坐标为________.
(2)若反比例函数的悬垂等腰直角三角形面积是
,求
的值.
(3)对于函数,当
时,该函数的悬垂点只有一个,求
的取值范围.
(4)若函数的悬垂等腰直角
的面积范围为
,且点
在第一象限,直接写出
的取值范围.
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【题目】甲、乙两地相距300千米,一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地,如图,线段OA表示货车离甲地距离y(千米)与时间x(小时)之间的函数关系;折线OBCDA表示轿车离甲地距离y(千米)与时间x(小时)之间的函数关系.请根据图象解答下列问题:
(1)当轿车刚到乙地时,此时货车距离乙地 千米;
(2)当轿车与货车相遇时,求此时x的值;
(3)在两车行驶过程中,当轿车与货车相距20千米时,求x的值.
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【题目】如图,A,B,C,D四点都在OO上,弧AC=弧BC,连接AB,CD、AD,∠ADC=45°.
(1)如图1,AB是⊙O的直径;
(2)如图2,过点B作BE⊥CD于点E,点F在弧AC上,连接BF交CD于点G,∠FGC=2∠BAD,求证:BA平分∠FBE;
(3)如图3,在(2)的条件下,MN与⊙O相切于点M,交EB的延长线于点N,连接AM,若2∠MAD+∠FBA=135°,MN=AB,EN=26,求线段CD的长.
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