Question

【题目】在平面直角坐标系中，点，点在轴上，以点为直角顶点作等腰直角．．当点落在某函数的图象上时，称点为该函数的“悬垂点”，为该函数的“悬垂等腰直角三角形”．

（1）若点是函数的悬垂点，直接写出点的横坐标为________．

（2）若反比例函数的悬垂等腰直角三角形面积是，求的值．

（3）对于函数，当时，该函数的悬垂点只有一个，求的取值范围．

（4）若函数的悬垂等腰直角的面积范围为，且点在第一象限，直接写出的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）6或2；（3）；（4）1≤a≤2或4≤a≤5．

【解析】

（1）设C（m,m+3）,根据“悬垂等腰直角三角形”的定义可知∠CAB＝45°,求出直线CA的解析式,C点即函数的图象与直线CA的交点,列方程求解即可;

（2）先根据“悬垂等腰直角三角形”定义及悬垂等腰直角三角形面积是2,求得点C的坐标,再根据反比例函数概念求k的值;

（3）设点C（m，m﹣1）,根据“悬垂等腰直角三角形”定义可列方程m2﹣5m+7＝m﹣1,求解后再根据“该函数的悬垂点只有一个”即可求得结论;

（4）根据“点C在第一象限,2≤S△ABC≤”,可得2≤AB≤3,进而得到,3≤m≤4,再由“悬垂等腰直角三角形”定义可得,m2﹣2am+a2+a﹣3＝m﹣1,解得：a1＝m﹣2或a2＝m+1,即可得到结论．

解:以点B为直角顶点作等腰直角△ABC,点A（1,0）,即直线AC与x轴成45°角,与y＝x或y＝﹣x平行,

∴直线CA的解析式为:y＝x﹣1或y＝﹣x+1,

（1）当直线CA的解析式为y＝x﹣1时,

,

解得:;

即C点为（8,7）,

当直线CA的解析式为y＝﹣x+1时,

,

解得: ;

即C点为（ , ）,

故答案为:8或；

（2）设点C的横坐标为m,则点C的纵坐标为m﹣1,

∵S△ABC＝（m﹣1）2＝2,

∴m1＝﹣1,m2＝3,

∴点C的坐标为（﹣1,﹣2）或（3,2）,

∵点C在反比例函数y＝（k＞0）的图象上,

∴k＝2或k＝6;

（3）设点C（m,m﹣1）,

∵点C在函数y＝x2﹣5x+7的图象上,

∴m2﹣5m+7＝m﹣1,

解得:m1＝2,m2＝4,

∵当1≤x≤n（n＞1）时,该函数的悬垂点只有一个,

∴2≤n＜4．

（4）∵点C在第一象限,2≤S△ABC≤，

∴2≤AB≤3,

∵点A（1,0）,

∴3≤m≤4,

∵m2﹣2am+a2+a﹣3＝m﹣1,

∴a1＝m﹣2或a2＝m+1,

当a＝m﹣2时,可得1≤a≤2,

当a＝m+1时,可得4≤a≤5,

综上所述,a的取值范围为:1≤a≤2或4≤a≤5．