Question

【题目】在矩形 ABCD 中，M，N，P，Q 分别为边 AB，BC，CD，DA 上的点（不与端点重合）．对于任意矩形 ABCD，下面四个结论中：①存在无数个四边形 MNPQ 是平行四边形；②存在无数个四边形 MNPQ 是矩形；③存在无数个四边形 MNPQ 是菱形；④不存在四边形 MNPQ 是正方形．所有正确结论的序号是_________________ ．

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

根据矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理即可得到结论．

解：①如图，∵四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于O，

过点O直线MP和QN，分别交AB，BC，CD，AD于M，N，P，Q，

则四边形MNPQ是平行四边形，

故存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；故正确；

②如图，当PM=QN时，四边形MNPQ是矩形，故存在无数个四边形MNPQ是矩形；故正确；

③如图，当PM⊥QN时，存在无数个四边形MNPQ是菱形；故正确；

④当四边形MNPQ是正方形时，MQ=PQ，

则△AMQ≌△DQP，

∴AM=QD，AQ=PD，

∵PD=BM，

∴AB=AD，

∴四边形ABCD是正方形，

当四边形ABCD为正方形时，四边形MNPQ是正方形，故错误；

故答案为：①②③．