Question

【题目】如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝12cm，AD＝20cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF．

（1）求证：四边形BFEP为菱形；

（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动；

①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形BFEP的边长；

②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①菱形BFEP的边长为cm；②点E在边AD上移动的最大距离为8cm．

【解析】

（1）由折叠的性质得出PB=PE，BF=EF，∠BPF=∠EPF，由平行线的性质得出∠BPF=∠EFP，证出∠EPF=∠EFP，得出EP=EF，因此BP=BF=EF=EP，即可得出结论；
（2）①由矩形的性质得出BC=AD=20cm，CD=AB=12cm，∠A=∠D=90°，由对称的性质得出CE=BC=20cm，在Rt△CDE中，由勾股定理求出DE=16cm，得出AE=AD-DE=4cm；在Rt△APE中，由勾股定理得出方程，解方程得出EP=cm即可；
②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时AE=4cm；当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE=AB=3cm，即可得出答案．

（1）证明：∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，

∴点B与点E关于PQ对称，

∴PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF，

又∵EF∥AB，

∴∠BPF＝∠EFP，

∴∠EPF＝∠EFP，

∴EP＝EF，

∴BP＝BF＝EF＝EP，

∴四边形BFEP为菱形；

（2）①∵四边形ABCD是矩形，

∴BC＝AD＝20cm，CD＝AB＝12cm，∠A＝∠D＝90°，

∵点B与点E关于PQ对称，

∴CE＝BC＝20cm，

在Rt△CDE中，DE＝＝16cm，

∴AE＝AD﹣DE＝20cm﹣16cm＝4cm；

在Rt△APE中，AE＝4，AP＝12﹣PB＝12﹣PE，

∴EP2＝42+（12﹣EP）2，

解得：EP＝cm，

∴菱形BFEP的边长为cm；

②当点Q与点C重合时，如图2：

点E离点A最近，由①知，此时AE＝4cm；

当点P与点A重合时，如图3所示：

点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝12cm，

∴点E在边AD上移动的最大距离为8cm