【题目】如图,已知抛物线与轴交于点、(点在点的左侧),经过点的直线:与轴交于点,与抛物线的另一个交点为.
(1)则点的坐标为__________,点的坐标为__________,抛物线的对称轴为__________;
(2)点是直线下方抛物线上的一点,当时.求面积的最大值;
(3)设为抛物线对称轴上一点,点在抛物线上,若以点、、、为顶点的四边形为矩形,求的值.
【答案】(1),,抛物线的对称轴是:直线;(2)当时,面积的最大值为;(3)当点、、、为顶点的四边形为矩形时,的值为,
【解析】
(1)利用抛物线与轴交点的纵坐标为,列方程直接求解,利用抛物线的对称轴公式直接求对称轴方程;
(2)过点作轴交直线于点,利用,建立面积与的横坐标的函数,利用函数的性质求最大值;
(3)分别以为边与对角线进行讨论,利用矩形的性质与抛物线的性质及平移的特点求解的坐标,再利用函数知识或三角函数或相似建立方程即可得到答案.
解(1)令,得,
因为:,所以,
所以:,
,,
抛物线的对称轴是:直线;
(2)过点作轴交直线于点,如图1,
∵,∴抛物线的解析式为, 直线的解析式为
设点,则
∴
∵,∴当时,面积的最大值为.
图1
(3)联立:,得,
∴点
①若点、、、为顶点的矩形中,
过点作轴,过点作于点如图2,
则,,,
∴,则点的坐标为,
由平移得,点的坐标为,
∴,
∴,∴(负值合去)
图2
②若矩形中为对角线,∵,,
由,
则由平移可得:点的坐标为,
过点作轴,点作轴,
过点作于点,交于点,如图3,
则,
,,
∴,∴(负值舍去)
∴当点、、、为顶点的四边形为矩形时,的值为,.
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【题目】如图,二次函数y=ax2+2ax+c(a<0)的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,顶点为D,一次函数y=mx﹣3的图象与y轴交于E点,与二次函数的对称轴交于F点,且tan∠FDC=.
(1)求a的值;
(2)若四边形DCEF为平行四边形,求二次函数表达式.
(3)在(2)的条件下设点M是线段OC上一点,连接AM,点P从点A出发,先以1个单位长度/s的速度沿线段AM到达点M,再以个单位长度/s的速度沿MC到达点C,求点P到达点C所用最短时间为 s(直接写出答案).
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【题目】如图,在等腰中,点为直线上一动点(点不与、重合).以为边向右侧作正方形,连结.
(猜想)如图①,当点在线段上时,直接写出、、三条线段的数量关系.
(探究)如图②,当点在线段的延长线上时,判断、、三条线段的数量关系,并说明理由.
(应用)如图③,当点在线段的反向延长线上时,点、分别在直线两侧,、交点为点连结,若,,则 .
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【题目】学习一定要讲究方法,比如有效的预习可大幅提高听课效率.九年级(1)班学习兴趣小组为了了解全校九年级学生的预习情况,对该校九年级学生每天的课前预习时间(单位:)进行了抽样调查.并将抽查得到的数据分成5组,下面是未完成的频数、顿率分布表和频数分布扇形图.
组别 | 课前预习时间 | 频数(人数) | 频率 |
1 | 2 | ||
2 | 0.10 | ||
3 | 16 | 0.32 | |
4 | |||
5 | 3 |
请根据图表中的信息,回答下列问题:
(1)本次调查的样本容量为 ,表中的 , , ;
(2)试计算第4组人数所对应的扇形圆心角的度数;
(3)该校九年级其有1000名学生,请估计这些学生中每天课前预习时间不少于的学生人数.
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【题目】如图1,在矩形纸片ABCD中,AB=12cm,AD=20cm,折叠纸片使B点落在边AD上的E处,折痕为PQ,过点E作EF∥AB交PQ于F,连接BF.
(1)求证:四边形BFEP为菱形;
(2)当点E在AD边上移动时,折痕的端点P、Q也随之移动;
①当点Q与点C重合时(如图2),求菱形BFEP的边长;
②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动,求出点E在边AD上移动的最大距离.
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【题目】如图,点在直线上,过点作,且,点在射线上(点不与点重合),且满足,,与交于点,过点作于点.设.
(1)用含的代数式表示的长;
(2)①线段的长是________;
②线段的长是_________;(用含的代数式表示)
(3)当为何值时,有最小值?并求出这个最小值.
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【题目】某商场以每件10元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数,其函数图像如图所示.
(1)求商场每天销售这种商品的销售利润y(元)与每件的销售价x(元)之间的函数解析式;
(2)试判断,每件商品的销售价格在什么范围内,每天的销售利润随着价格的提高而增加.
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