Question

【题目】在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线y= x2 -2px+q．

（1）当p=2 时，

①抛物线的顶点坐标横坐标为____ ___，纵坐标为__________(用含 q 的式子表示)；

②若点 A（-1，y1），B（x2，y2 ）都在抛物线上，且y2 >y1，令x2 = m，则 m的取值范围是_____________；

（2）已知点 M（3，2），将点 M 向左平移 5 个单位长度，得到点 N．当q=6 时，若抛物线与线段 MN 恰有一个公共点，结合函数图象，求 p 的取值范围为_____________．

Answer 1

【答案】（1）①2，q- 4；②m1或m 5；（2）p≤-2 或p=2或．

【解析】

（1）①将P的值代入，将函数解析式改写为顶点式，即可求解. ②由对称轴为x=2,可得x=-1与x=5的函数值相等，数形结合可知当y2 >y1时，x2的取值范围，即m的范围为x2 1或x2 5

（2）由于线段MN//x轴，满足线段MN与抛物线只有一个交点，通过数形结合，分线段MN的左，右端点在抛物线上和抛物线的顶点在线段上三种情况，分别得到关于P的方程求解即可.

（1）①∵ p=2 ，

∴抛物线为y=x2 - 4x+q= (x- 2)2 +q- 4 ．

∴顶点的坐标为（ 2，q- 4）．

②

由对称轴为x=2,由图可知，当x=-1与x=5的函数值相等，点A（-1，y1）, B（x2，y2 ）, 要使y2 >y1，则点B应在点A的左上方或在点的右上方，故有x21或 x25；而x2 = m，所以m的取值范围为m1或m 5.

（2）∵点M（3，2）向左平移 5 个单位得到点N，

∴点N的坐标为（-2 ，2）．

∵q= 6 ，

∴抛物线为y=x2 -2px+ 6 ．

当抛物线经过点M（3，2）时， 2 = 32 - 6p+ 6 ，解得p．

当抛物线经过点N（-2 ，2）时， 2 = (-2)2 + 4 p+ 6 ，解得 p=-2 ．

当抛物线的顶点在线段PQ上时，6 - p2 = 2 ，解得p=±2 ．

满足线段MN与抛物线只有一个交点，结合图象可知，m的取值范围是p≤-2 或p=2或．