Question

10．已知，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
（1）如图1．
①若∠AOC=60°，求∠DOE的度数；
②若∠AOC=α，直接写出∠DOE的度数（含α的式子表示）；
（2）将图1中的∠DOC绕点O顺时针旋转至图2的位置，试探究∠DOE和∠AOC的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）①首先求得∠COB的度数，然后根据角平分线的定义求得∠COE的度数，再根据∠DOE=∠COD-∠COE即可求解；
②解法与①相同，把①中的60°改成α即可；
（2）把∠AOC的度数作为已知量，求得∠BOC的度数，然后根据角的平分线的定义求得∠COE的度数，再根据∠DOE=∠COD-∠COE求得∠DOE，即可解决．

解答 解：（1）①∵∠AOC=60°
∴∠BOC=180°-∠AOC
=180°-60°
=120°
又∵OE平分∠BOC
∴∠COE=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$×120°=60°
又∵∠COD=90°
∴∠DOE=∠COD-∠COE
=90°-60°
=30°
②∠DOE=90°-$\frac{1}{2}$（180-α）
=90°-90°+$\frac{1}{2}$α=$\frac{1}{2}$α；
（2）∠DOE=$\frac{1}{2}$∠AOC，理由如下：
∵∠BOC=180°-∠AOC
又∵OE平分∠BOC
∴∠COE=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$（180°-∠AOC）
=90°-$\frac{1}{2}$∠AOC
又∵∠DOE=90°-∠COE
=90°-（90°-$\frac{1}{2}$∠AOC）
=$\frac{1}{2}$∠AOC．

点评 本题考查了角度的计算，正确理解角平分线的定义，理解角度之间的和差关系是关键．