Question

20．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AE=BE，D为EC中点．
（1）求∠CAE的度数；
（2）求证：△ADE是等边三角形．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形两底角相等求出∠B=30°，∠BAE=∠B=30°，即可得出结果；
（2）根据直角三角形斜边上的中线性质得出AD=$\frac{1}{2}$EC=ED=DC，得出∠DAC=∠C=30°，因此∠EAD=60°，即可得出结论．

解答 （1）解：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=$\frac{1}{2}$×（180°-120°）=30°，
∵AE=BE，
∴∠BAE=∠B=30°，
∴∠CAE=120°-30°=90°；
（2）证明：∵∠CAE=90°，D是EC的中点，
∴AD=$\frac{1}{2}$EC=ED=DC，
∴∠DAC=∠C=30°，
∴∠EAD=60°，
∴△ADE是等边三角形．

点评 本题考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定、直角三角形斜边上的中线性质；熟记各性质并准确识图是解题的关键．