Question

12．一副直角三角板如图放置，点A在DF延长线上，BC∥DA，∠D=∠BAC=90°，∠E=30°，∠C=45°，AC=9$\sqrt{2}$
（1）求∠ABF的度数；
（2）若取$\sqrt{3}$=1.73，试求AF的长（计算结果保留两位小数）

Answer 1

分析 （1）先根据直角三角形两锐角互余求出∠DFE=90°-∠E=60°，∠ABC=∠C=45°，再利用平行线的性质得出∠CBF=∠DFE=60°，那么由∠ABF=∠CBF-∠ABC即可求出∠ABF的度数；
（2）过点B作BM⊥FD于点M，解直角△ACB，得出AB=AC=9$\sqrt{2}$，由BC∥DA，得到∠BAM=∠ABC=45°，那么AM=BM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=9．再解直角△BFM，求出FM=$\frac{BM}{tan60°}$=3$\sqrt{3}$，根据AF=AM-FM即可得出答案．

解答 解：（1）∵∠D=∠BAC=90°，∠E=30°，∠C=45°，
∴∠DFE=90°-∠E=60°，∠ABC=∠C=45°，
∵BC∥DA，
∴∠CBF=∠DFE=60°，
∴∠ABF=∠CBF-∠ABC=15°；

（2）过点B作BM⊥FD于点M，
∵在△ACB中，∠BAC=90°，∠ABC=∠C=45°，AC=9$\sqrt{2}$，
∴AB=AC=9$\sqrt{2}$，
∵BC∥DA，
∴∠BAM=∠ABC=45°，
∴AM=BM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=9．
∵在△BFM中，∠BMF=90°，∠BFM=60°，
∴FM=$\frac{BM}{tan60°}$=3$\sqrt{3}$，
∴AF=AM-FM=9-3$\sqrt{3}$≈3.81．

点评 本题考查了解直角三角形，平行线的性质，锐角三角函数定义，难度中等，解答此类题目的关键根据题意建立三角形利用所学的三角函数的关系进行解答．