Question

7．已知二次函数的图象经过点（0，-3），（2，5），（-1，-4）且与x轴交于A、B两点，其顶点为P．
①试确定此二次函数的解析式；
②求出P点的坐标；
③根据函数的图象，请直接写出函数值y＜0时自变量x的取值范围，并指出函数的增减性．

Answer 1

分析 ①根据二次函数的图象经过点（0，-3），（2，5），（-1，-4），可以求得此二次函数的解析式；
②根据第①问中求得的函数解析式可化为顶点式，从而可以得到顶点P的坐标；
③令y=0代入求得的函数解析式可以求得点A和点B的坐标，从而可以得到函数值y＜0时自变量x的取值范围，由顶点P的坐标和函数图象可以得到函数的增减性．

解答 解：①设此二次函数的解析式为：y=ax²+bx+c，
∵二次函数的图象经过点（0，-3），（2，5），（-1，-4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=-3}\\{4a+2b+c=5}\\{a-b+c=-4}\end{array}\right.$，
解得a=1，b=2，c=-3，
∴此二次函数的解析式是：y=x²+2x-3；
②∵y=x²+2x-3=（x+1）²-4，点P为此二次函数的顶点坐标，
∴点P的坐标为（-1，-4）；
③将y=0代入y=x²+2x-3得，x₁=-3，x₂=1，
∴点A的坐标为（-3，0），点B的坐标为（1，0），
又∵顶点P的坐标为（-1，-4），
∴函数值y＜0时自变量x的取值范围是：-3＜x＜1；
当x＜-1时，y随x的增大而减小；
当x＞-1时，y随x的增大而增大．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想找出所求问题需要的条件．