阅读下列材料:我们知道|x|的几何意义是:在数轴上数x对应的点与原点的距离.也就是说.|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离.这个结论可以推广为:|x1-x2|表示在数轴上数x1.x2对应点之间的距离．在解题中.我们会常常运用绝对值的几何意义．例1:解方程|x|=2．分析:由绝对值的几何意义知.该方程表示:求在数轴上与原点距离为2的点对应的数.故� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

19．

阅读下列材料：
我们知道|x|的几何意义是：在数轴上数x对应的点与原点的距离，也就是说，|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：|x₁-x₂|表示在数轴上数x₁，x₂对应点之间的距离．在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义．
例1：解方程|x|=2．
分析：由绝对值的几何意义知，该方程表示：求在数轴上与原点距离为2的点对应的数，故该方程的解为：x=±2；
例2：解方程|x-1|+|x+2|=5．
分析：由绝对值的几何意义知，该方程表示：求在数轴上与1和-2的距离之和为5的点对应的数，而在数轴上，1和-2的距离为|1-（-2）|=3，满足方程的x对应点在1的右边或-2的左边，若x对应点在1的右边，由图可知看出x=2；同理，若x对应点在-2的左边，可得x=-3，故原方程的解是x=2或x=-3．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程|x-1|=2的解为x₁=-1，x₂=3．
（2）方程|x-2|+|x+3|=7的解为x₁=-5，x₂=3．
（3）如图，数轴的原点为O，点A、B、C是数轴上的三点，点B对应的数为1，AB=6，BC=2，动点P、Q同时从A、C出发，分别以每秒2个长度单位和每秒1个长度单位的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t＞0）
①求点A、C分别对应的数；
②求点P、Q分别对应的数（用含t的式子表示）；
③试问当t为何值时，OP=OQ？

分析（1）分类讨论：x＜1，x≥1，可化简绝对值，根据解方程，可得答案；
（2）分类讨论：x＜-3，-3≤x＜2，x≥2，根据绝对值的意义，可化简方程，根据解方程，可得答案．
（3）①根据点B对应的数为1，AB=6，BC=2，得出点A对应的数是1-6=-5，点C对应的数是1+2=3．
②根据动点P、Q分别同时从A、C出发，分别以每秒2个单位和1个单位的速度沿数轴正方向运动，表示出移动的距离，即可得出对应的数；
③分两种情况讨论：当点P与点Q在原点两侧时和当点P与点Q在同侧时，根据OP=OQ，分别列出方程，求出t的值即可．

解答解：（1）当x＜1时，原方程等价于-x+1=2．解得x=-1；
当x≥1时，原方程等价于x-1=2，解得x=3，
故答案为：x₁=-1，x₂=3；
（2）当x＜-3时，原方程等价于2-x-x-3=7，解得x=-4，
当-3≤x＜2时，原方程等价于2-x+x+3=7，不存在x的值；
当x≥2时，原方程等价于x-2+x+3=7，解得x=3，
故答案为x₁=-5，x₂=3．
（3）①∵点B对应的数为1，AB=6，BC=2，
∴点A对应的数是1-6=-5，点C对应的数是1+2=3．
②∵动点P、Q分别同时从A、C出发，分别以每秒2个单位和1个单位的速度沿数轴正方向运动，
∴点P对应的数是-5+2t，
点Q对应的数是3+t；
③当点P与点Q在原点两侧时，若OP=OQ，则5-2t=3+t，
解得：t=$\frac{2}{3}$；
当点P与点Q在同侧时，若OP=OQ，则-5+2t=3+t，
解得：t=8；
所以，当t为$\frac{2}{3}$或8时，OP=OQ．

点评本题考查了一元一次方程的应用和数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系和分类讨论思想的运用．

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（1）如图1．
①若∠AOC=60°，求∠DOE的度数；
②若∠AOC=α，直接写出∠DOE的度数（含α的式子表示）；
（2）将图1中的∠DOC绕点O顺时针旋转至图2的位置，试探究∠DOE和∠AOC的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．