Question

【题目】如图，在四边形中，，，，点为边上一点，连接，. 与交于点，且∥.

（1）求证:；

（2）若，. 求的长 .

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）由等边三角形的判定定理可得△ABD为等边三角形，又由平行进行角度间的转化可得出结论.

（2）连接AC交BD于点O，由题意可证AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形，可得∠BAO=∠DAO=30°，AB=AD=BD=8，BO=OD=4，通过证明△EDF是等边三角形，可得DE=EF=DF=2，由勾股定理可求OC，BC的长．

（1）证明：∵，，

∴△是等边三角形.

∴.

∵∥，

∴.

∴.

（2）解：连接交于点，

∵，，

∴垂直平分.

∴.

∵△是等边三角形，

∴，

∴.

∵∥，

∴.

∴, .

∵.

∴.

∴△是等边三角形.

∴,

∴,.

在Rt△中，

∴.

在Rt△中，

∴.