Question

20．在等腰△ABC中，AB=5，BC=4，则sinA=$\frac{\sqrt{39}}{8}$或$\frac{4\sqrt{21}}{25}$．

Answer 1

分析 根据题目知△ABC为等腰三角形，AB=5，BC=4，分两种情况：一种是AB为腰长，一种是AB为底边，从而求出相应的sinA的值．

解答 解：当AB边为底边时，作CD⊥AB于点D，如图所示

∵△ABC中为等腰三角形，AB=5，BC=4
∴CD垂直平分AB，AC=AB=4
∴AD=$\frac{5}{2}$，∠CDA=90°
∴CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-（\frac{5}{2}）^{2}}=\sqrt{16-\frac{25}{4}}=\frac{\sqrt{39}}{2}$
∴sinA=$\frac{CD}{AC}=\frac{\frac{\sqrt{39}}{2}}{4}=\frac{\sqrt{39}}{8}$
当AB边为腰时，作BD⊥AC于点D，如下图所示：

∵在等腰△ABC中，AB=5，BC=4，
∴AB=AC=5，
又∵BD⊥AC于点D，
∴∠BDA=∠BDC=90°，
设AD=x，则CD=5-x，
∵AB²-AD²=BC²-CD²
∴5²-x²=4²-（5-x）²
解得x=3.4
BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}=\sqrt{{5}^{2}-3．{4}^{2}}=\sqrt{25-\frac{289}{25}}=\frac{4\sqrt{21}}{5}$
∴sinA=$\frac{BD}{AB}=\frac{\frac{4\sqrt{21}}{5}}{5}=\frac{4\sqrt{21}}{25}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{39}}{8}$或$\frac{4\sqrt{21}}{25}$．

点评 本题考查锐角三角函数的相关知识，等腰三角形的知识，分类讨论数学思想的应用．