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【题目】如图,在RtABC中,∠C=90°,A=30°,AB=8,点P从点A出发,沿折线AB﹣BC向终点C运动,在AB上以每秒8个单位长度的速度运动,在BC上以每秒2个单位长度的速度运动,点Q从点C出发,沿CA方向以每秒个单位长度的速度运动,两点同时出发,当点P停止时,点Q也随之停止.设点P运动的时间为t秒.

(1)求线段AQ的长;(用含t的代数式表示)

(2)当点PAB边上运动时,求PQ与△ABC的一边垂直时t的值;

(3)设△APQ的面积为S,求St的函数关系式;

(4)当△APQ是以PQ为腰的等腰三角形时,直接写出t的值.

【答案】(1)4t;(2)当点PAB边上运动时,PQ与△ABC的一边垂直时t的值是t=0;(3)St的函数关系式为:S=;(4)t的值为

【解析】分析(1)根据勾股定理求出AC的长,然后由AQ=AC-CQ求解即可;

(2)当点PAB边上运动时,PQ与△ABC的一边垂直,有三种情况:当QC处,PA处时,PQ⊥BC;PQ⊥ABPQ⊥AC分别求解即可

(3)PAB边上时,即0≤t≤1,作PG⊥ACG,或当P在边BC上时,即1<t≤3,分别根据三角形的面积求函数的解析式即可

(4)当△APQ是以PQ为腰的等腰三角形时,有两种情况:①当P在边AB上时,作PG⊥AC于G,则AG=GQ列方程求解②当P在边AC上时, AQ=PQ,根据勾股定理求解.

详解:(1)如图1,

Rt△ABC中,∠A=30°,AB=8,

∴BC=AB=4,

∴AC=

由题意得:CQ=t,

∴AQ=4t;

(2)当点PAB边上运动时,PQ与△ABC的一边垂直,有三种情况:

①当QC处,PA处时,PQ⊥BC,此时t=0;

②当PQ⊥AB时,如图2,

∵AQ=4t,AP=8t,∠A=30°,

∴cos30°=

t=

③当PQ⊥AC时,如图3,

∵AQ=4t,AP=8t,∠A=30°,

∴cos30°=

t=

综上所述,当点PAB边上运动时,PQ与△ABC的一边垂直时t的值是t=0

(3)分两种情况:

①当PAB边上时,即0≤t≤1,如图4,作PG⊥ACG,

∵∠A=30°,AP=8t,∠AGP=90°,

∴PG=4t,

∴S△APQ=AQPG=(4t)4t=﹣2t2+8t;

②当P在边BC上时,即1<t≤3,如图5,

由题意得:PB=2(t﹣1),

∴PC=4﹣2(t﹣1)=﹣2t+6,

∴S△APQ=AQPC=(4t)(﹣2t+6)=t2

综上所述,St的函数关系式为:S=

(4)当△APQ是以PQ为腰的等腰三角形时,有两种情况:

①当P在边AB上时,如图6,

AP=PQ,作PG⊥ACG,则AG=GQ,

∵∠A=30°,AP=8t,∠AGP=90°,

∴PG=4t,

∴AG=4t,

AQ=2AG得:4t=8t,t=

②当P在边AC上时,如图7,AQ=PQ,

Rt△PCQ中,由勾股定理得:CQ2+CP2=PQ2

t=或﹣(舍),

综上所述,t的值为

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