【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=8,点P从点A出发,沿折线AB﹣BC向终点C运动,在AB上以每秒8个单位长度的速度运动,在BC上以每秒2个单位长度的速度运动,点Q从点C出发,沿CA方向以每秒个单位长度的速度运动,两点同时出发,当点P停止时,点Q也随之停止.设点P运动的时间为t秒.
(1)求线段AQ的长;(用含t的代数式表示)
(2)当点P在AB边上运动时,求PQ与△ABC的一边垂直时t的值;
(3)设△APQ的面积为S,求S与t的函数关系式;
(4)当△APQ是以PQ为腰的等腰三角形时,直接写出t的值.
【答案】(1)4﹣t;(2)当点P在AB边上运动时,PQ与△ABC的一边垂直时t的值是t=0或或;(3)S与t的函数关系式为:S=;(4)t的值为或.
【解析】分析:(1)根据勾股定理求出AC的长,然后由AQ=AC-CQ求解即可;
(2)当点P在AB边上运动时,PQ与△ABC的一边垂直,有三种情况:当Q在C处,P在A处时,PQ⊥BC;当PQ⊥AB时;当PQ⊥AC时;分别求解即可;
(3)当P在AB边上时,即0≤t≤1,作PG⊥AC于G,或当P在边BC上时,即1<t≤3,分别根据三角形的面积求函数的解析式即可;
(4)当△APQ是以PQ为腰的等腰三角形时,有两种情况:①当P在边AB上时,作PG⊥AC于G,则AG=GQ,列方程求解;②当P在边AC上时, AQ=PQ,根据勾股定理求解.
详解:(1)如图1,
Rt△ABC中,∠A=30°,AB=8,
∴BC=AB=4,
∴AC=,
由题意得:CQ=t,
∴AQ=4﹣t;
(2)当点P在AB边上运动时,PQ与△ABC的一边垂直,有三种情况:
①当Q在C处,P在A处时,PQ⊥BC,此时t=0;
②当PQ⊥AB时,如图2,
∵AQ=4﹣t,AP=8t,∠A=30°,
∴cos30°=,
∴,
t=;
③当PQ⊥AC时,如图3,
∵AQ=4﹣t,AP=8t,∠A=30°,
∴cos30°=,
∴
t=;
综上所述,当点P在AB边上运动时,PQ与△ABC的一边垂直时t的值是t=0或或;
(3)分两种情况:
①当P在AB边上时,即0≤t≤1,如图4,作PG⊥AC于G,
∵∠A=30°,AP=8t,∠AGP=90°,
∴PG=4t,
∴S△APQ=AQPG=(4﹣t)4t=﹣2t2+8t;
②当P在边BC上时,即1<t≤3,如图5,
由题意得:PB=2(t﹣1),
∴PC=4﹣2(t﹣1)=﹣2t+6,
∴S△APQ=AQPC=(4﹣t)(﹣2t+6)=t2;
综上所述,S与t的函数关系式为:S=;
(4)当△APQ是以PQ为腰的等腰三角形时,有两种情况:
①当P在边AB上时,如图6,
AP=PQ,作PG⊥AC于G,则AG=GQ,
∵∠A=30°,AP=8t,∠AGP=90°,
∴PG=4t,
∴AG=4t,
由AQ=2AG得:4﹣t=8t,t=,
②当P在边AC上时,如图7,AQ=PQ,
Rt△PCQ中,由勾股定理得:CQ2+CP2=PQ2,
∴,
t=或﹣(舍),
综上所述,t的值为或.
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【题目】“足球运球”是中考体育必考项目之一.兰州市某学校为了解今年九年级学生足球运球的掌握情况,随机抽取部分九年级学生足球运球的测试成绩作为一个样本,按A,B,C,D四个等级进行统计,制成了如下不完整的统计图.(说明:A级:8分﹣10分,B级:7分﹣7.9分,C级:6分﹣6.9分,D级:1分﹣5.9分)
根据所给信息,解答以下问题:
(1)在扇形统计图中,C对应的扇形的圆心角是 度;
(2)补全条形统计图;
(3)所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在 等级;
(4)该校九年级有300名学生,请估计足球运球测试成绩达到A级的学生有多少人?
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【题目】如图,△ABC的外角∠ACD的平分线CP与∠ABC平分线BP交于点P,若∠BPC=40°,则∠CAP的度数是( )
A. 30°; B. 40°; C. 50°; D. 60°.
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【题目】已知:关于x的方程x2-2(m+1)x+m2=0.
(1)当m取何值时,方程有两个实数根?
(2)为m选取一个合适的整数,使方程有两个不相等的实数根,并求这两个根.
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【题目】爸爸和小芳驾车去郊外登山,欣赏美丽的达子香(兴安杜鹃),到了山下,爸爸让小芳先出发6min,然后他再追赶,待爸爸出发24min时,妈妈来电话,有急事,要求立即回去.于是爸爸和小芳马上按原路下山返回(中间接电话所用时间不计),二人返回山下的时间相差4min,假设小芳和爸爸各自上、下山的速度是均匀的,登山过程中小芳和爸爸之间的距离s(单位:m)关于小芳出发时间t(单位:min)的函数图象如图,请结合图象信息解答下列问题:
(1)小芳和爸爸上山时的速度各是多少?
(2)求出爸爸下山时CD段的函数解析式;
(3)因山势特点所致,二人相距超过120m就互相看不见,求二人互相看不见的时间有多少分钟?
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【题目】如图1,△ABC中,CD⊥AB于D,且BD : AD : CD=2 : 3 : 4,
(1)试说明△ABC是等腰三角形;
(2)已知S△ABC=40cm2,如图2,动点M从点B出发以每秒2cm的速度沿线段BA向点A 运动,同时动点N从点A出发以每秒1cm速度沿线段AC向点C运动,当其中一点到达终点时整个运动都停止. 设点M运动的时间为t(秒),
①若△DMN的边与BC平行,求t的值;
②若点E是边AC的中点,问在点M运动的过程中,△MDE能否成为等腰三角形?若能,求出t的值;若不能,请说明理由.
图1 图2 备用图
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【题目】如图,在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,以边AB的中点O为圆心,作半圆与AC相切,点P,Q分别是边BC和半圆上的动点,连接PQ,则PQ长的最大值与最小值的和是( )
A. 9 B. 10 C. D.
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【题目】P是⊙O内一点,过点P作⊙O的任意一条弦AB,我们把PAPB的值称为点P关于⊙O的“幂值”
(1)⊙O的半径为6,OP=4.
①如图1,若点P恰为弦AB的中点,则点P关于⊙O的“幂值”为_____;
②判断当弦AB的位置改变时,点P关于⊙O的“幂值”是否为定值,若是定值,证明你的结论;若不是定值,求点P关于⊙0的“幂值”的取值范围;
(2)若⊙O的半径为r,OP=d,请参考(1)的思路,用含r、d的式子表示点P关于⊙O的“幂值”或“幂值”的取值范围_____;
(3)在平面直角坐标系xOy中,C(1,0),⊙C的半径为3,若在直线y=x+b上存在点P,使得点P关于⊙C的“幂值”为6,请直接写出b的取值范围_____.
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