Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点D，且BD∥OC，连接AC．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AB=OC=4，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）．

【解析】

（1）连接OD，根据CD与圆O相切，利用切线的性质得到OD垂直于CD，再由OC与BD平行，得到同位角相等与内错角相等，根据OB=OD，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到夹角相等，再由OA=OD，OC=OC，利用SAS得到三角形AOC与三角形DOC全等，利用全等三角形对应角相等得到∠OAC=∠ODC=90°，即可得证；

（2）由OD=OB=DB得到三角形ODB为等边三角形，求出∠DOB=60°，根据图中阴影部分的面积=扇形DOB的面积-△DOB的面积解答即可．

（1）证明：连接OD，

∵CD与圆O相切，

∴OD⊥CD，

∴∠CDO=90°，

∵BD∥OC，

∴∠AOC=∠OBD，∠COD=∠ODB，

∵OB=OD，

∴∠OBD=∠ODB，

∴∠AOC=∠COD，

在△AOC和△DOC中，

，

∴△AOC≌△EOC（SAS），

∴∠CAO=∠CDO=90°，则AC与圆O相切；

（2）∵AB=OC=4，OB=OD，

∴Rt△ODC与Rt△OAC是含30°的直角三角形，

∴∠DOC=∠COA=60°，

∴∠DOB=60°，

∴△BOD为等边三角形，

图中阴影部分的面积=扇形DOB的面积-△DOB的面积= ．