Question

【题目】二次函数y＝（m+2）x2﹣2（m+2）x﹣m+5，其中m+2＞0．

（1）求该二次函数的对称轴方程；

（2）过动点C（0，n）作直线l⊥y轴．

①当直线l与抛物线只有一个公共点时，求n与m的函数关系；

②若抛物线与x轴有两个交点，将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．当n＝7时，直线l与新的图象恰好有三个公共点，求此时m的值；

（3）若对于每一个给定的x的值，它所对应的函数值都不小于1，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）对称轴方程为x＝1；（2）①n＝﹣2m+3，②m＝5；（3）m的取值范围是﹣2＜m≤1．

【解析】

（1）将抛物线解析式配方成顶点式即可得；
（2）①画出函数的大致图象，由图象知直线l经过顶点式时，直线l与抛物线只有一个交点，据此可得；
②画出翻折后函数图象，由直线l与新的图象恰好有三个公共点可得-2m+3=-7，解之可得；
（3）由开口向上及函数值都不小于1可得，解之即可．

（1）∵y＝（m+2）x2﹣2（m+2）x﹣m+5＝（m+2）（x﹣1）2﹣2m+3，

∴对称轴方程为x＝1．

（2）①如图，由题意知直线l的解析式为y＝n，

∵直线l与抛物线只有一个公共点，

∴n＝﹣2m+3．

②依题可知：当﹣2m+3＝﹣7时，直线l与新的图象恰好有三个公共点．

∴m＝5．

（3）抛物线y＝（m+2）x2﹣2（m+2）x﹣m+5的顶点坐标是（1，﹣2m+3）．

依题可得 ，

解得.

∴m的取值范围是﹣2＜m≤1．