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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=60cm,∠A=60°,点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒(0<t≤15).过点D作DF⊥BC于点F,连接DE,EF.

(1)求证:AE=DF;
(2)四边形AEFD能够成为菱形吗?如果能,求出相应的t值,如果不能,说明理由;
(3)当t为何值时,△DEF为直角三角形?请说明理由.

【答案】
(1)

证明:∵直角△ABC中,∠C=90°﹣∠A=30°.

∵CD=4t,AE=2t,

又∵在直角△CDF中,∠C=30°,

∴DF= CD=2t,

∴DF=AE


(2)

解:∵DF∥AB,DF=AE,

∴四边形AEFD是平行四边形,

当AD=AE时,四边形AEFD是菱形,

即60﹣4t=2t,

解得:t=10,

即当t=10时,AEFD是菱形


(3)

解:当t= 时△DEF是直角三角形(∠EDF=90°);

当t=12时,△DEF是直角三角形(∠DEF=90°).理由如下:

当∠EDF=90°时,DE∥BC.

∴∠ADE=∠C=30°

∴AD=2AE

∵CD=4t,

∴DF=2t=AE,

∴AD=4t,

∴4t+4t=60,

∴t= 时,∠EDF=90°.

当∠DEF=90°时,DE⊥EF,

∵四边形AEFD是平行四边形,

∴AD∥EF,

∴DE⊥AD,

∴△ADE是直角三角形,∠ADE=90°,

∵∠A=60°,

∴∠DEA=30°,

∴AD= AE,

AD=AC﹣CD=60﹣4t,AE=DF= CD=2t,

∴60﹣4t=t,

解得t=12.

综上所述,当t= 时△DEF是直角三角形(∠EDF=90°);当t=12时,△DEF是直角三角形(∠DEF=90°)


【解析】(1)利用t表示出CD以及AE的长,然后在直角△CDF中,利用直角三角形的性质求得DF的长,即可证明;(2)易证四边形AEFD是平行四边形,当AD=AE时,四边形AEFD是菱形,据此即可列方程求得t的值;(3)分两种情况讨论即可求解.

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