Question

如图，正方形ABCD的边长为3，E，F 分别是AB，BC边上的点，且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.

（1）求证：EF=FM；

（2）当AE=1时，求EF的长.

Answer 1

（1）证明：∵ △DAE逆时针旋转90°得到△DCM，∴ ∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，
∴ F，C，M三点共线，DE=DM，∠EDM=90°，∴ ∠EDF+∠FDM=90°.
∵ ∠EDF=45°，∴ ∠FDM=∠EDF=45°.
在△DEF和△DMF中，DE=DM，∠EDF=∠MDF，DF=DF，

∴ △DEF≌△DMF（SAS），∴ EF=MF.

（2）解：设EF=MF=x，∵ AE=CM=1，且BC=3，∴ BM=BC+CM=3+1=4，

∴ BF=BM－MF=BM－EF=4－x.

∵ EB=AB－AE=3－1=2，在Rt△EBF中，

由勾股定理得EB²+BF²=EF²，即2²+（4－x）²=x²，
解得：x=，即EF=.