Question

【题目】平面直角坐标系中有正方形AOBC，O为坐标原点，点A、B分别在y轴、x轴正半轴上，点P、E、F分别为边BC、AC、OB上的点，EF⊥OP于M．

（1）如图1，若点E与点A重合，点A坐标为（0，8），OF＝3，求P点坐标；

（2）如图2，若点E与点A重合，且P为边BC的中点，求证：CM=2CP；

（3）如图3，若点M为线段OP的中点，连接AB交EF于点N，连接NP，试探究线段OP与NP的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3），证明见解析

【解析】

（1）证明△OAF≌△BOP（ASA），得出OF=PB=3，则P点坐标可求出；

（2）取的中点，连接交于，连接，利用，证得四边形为平行四边形，然后根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得MN=AN，用HL定理证明，从而求得为的垂直平分线，使问题得解；

（3）过点作交于点，交于点，连接，由矩形和正方形的性质求得为等腰直角三角形，从而求得，，利用垂直平分线的性质求得ON=NP，然后根据HL定理证得，然后利用全等三角形的性质求得，即为等腰直角三角形，从而使问题得解．

解：∵A（0，8），

∴OA=8，

∵EF⊥OP于M，

∴∠OMF=90°，

∴∠MOF+∠OFM=90°，

∵∠OFM+∠OAF=90°，

∴∠MOF=∠OAF．

∵OA=OB，∠AOF=∠OBP，

∴△OAF≌△BOP（ASA），

∴OF=PB=3，

∴P（8，3）；

（2）取的中点，连接交于，连接

∵在正方形AOBC中，OA=BC=AC，且点P为BC中点

∴，

∴，

∴四边形为平行四边形

∴

∵EF⊥OP

∴

又∵N为OA中点

∴在Rt△AOM中，MN=AN

在Rt△AHN和Rt△MHN中，MN=AN，NH=NH

∴

∴，为的垂直平分线

∴

（3）过点作交于点，交于点，连接

由题意可知四边形AHGC是矩形且四边形AOBC为正方形

∴HG=AC=OA

在正方形AOBC中，∠OAB=45°

∴为等腰直角三角形

∴，

由EF⊥OP于M且M为OP的中点

∴MN垂直平分OP

∴ON=NP

在Rt△ONH和Rt△NPG中

∴

∴，，

∵

∴

∴

∴为等腰直角三角形

∴．