Question

抛物线y=ax²+bx+3与x轴相交于点A（-3，0），B（-1，0），与y轴相交于点C，⊙O₁为△ABC的外接圆，交抛物线于另一点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求⊙O₁的半径；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P使PB+PC最小？若存在，请写出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）如图所示，由圆周角定理，确定△BO₁C为等腰直角三角形，从而求出半径的长度；
（3）根据抛物线的解析式可确定C点坐标为（0，3），再利用待定系数法确定直线AC的关系式为y=x+3，由于使得PB+PC的值最小的点P为直线AC与对称轴的交点，把x=-2代入y=x+3即可确定P点坐标．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+3与x轴相交于点A（-3，0），B（-1，0），
∴

9a-3b+3=0 a-b+3=0

，
解得a=1，b=4．
∴抛物线的解析式为：y=x²+4x+3；

（2）由（1）知，抛物线解析式为y=x²+4x+3，
∵令x=0，得y=3，
∴C（0，3），
∴OC=OA=3，则△AOC为等腰直角三角形，∠BAC=45°
如图所示，连接O₁B、O₁B，则∠BO₁C=2∠BAC=90°．
在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC=

12+32

=

10

，
在等腰Rt△BO₁C中，⊙O₁的半径O₁B=BCsin45°=

10

×

2

2

=

5

；

（3）作抛物线的对称轴l，交AC于P，则P点即为所求．
（∵B点关于l的对称点是A，∴P点即是在l上使PB+PC最小的点．该理由不写亦可）
∵P点在对称轴l上，
∴P点的横坐标为-

4

2

=-2．
设直线AC的函数表达式为y=kx+t（k≠0）．
∵由A（-3，0），C（0，3），
∴

-3k+t=0 t=3

，
解得

k=1 t=3

．
∴直线AC的函数表达式为y=x+3．
将x=-2代入y=x+3，得y=1．
∴P点的坐标为（-2，1）．

点评：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、圆的性质等重要知识点，涉及的考点较多，试题难度较大．（3）题的关键点是确定点P的位置．