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【题目】如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图像与轴交于两点,与轴交于点,点是抛物线顶点,点是直线下方的抛物线上一动点.

)这个二次函数的表达式为____________.

)设直线的解析式为,则不等式的解集为___________.

)连结,并把沿翻折,得到四边形那么是否存在点,使四边形为菱形?若存在,请求出此时点的坐标;若不存在,请说明理由.

)当四边形的面积最大时,求出此时点的坐标和四边形的最大面积.

)若把条件是直线下方的抛物线上一动点.改为是抛物线上的任一动点,其它条件不变,当以为顶点的四边形为梯形时,直接写出点的坐标.

【答案】(1);(2)x≤0x≥3;(3);(4)当P()时,S四边形ABPC最大;(5)P的坐标为(-2,5),(2,-3)(4,5).

【解析】试题分析:(1)直接设成顶点式即可得出抛物线解析式

(2)先确定出点BC坐标再根据图象直接写出范围

(3)利用菱形的性质得出PO=PC即可得出点P的纵坐标代入抛物线解析式即可得出结论

(4)先利用坐标系中几何图形的面积的计算方法建立函数关系式即可求出面积的最大值

(5)先求出直线BCBCCD的解析式分三种情况利用梯形的性质一组对边平行即可得出直线DP1,CP2,BP3的解析式分别联立抛物线的解析式建立方程组求解即可.

试题解析:(1)∵D(1,﹣4)是抛物线y=x2+bx+c的顶点,∴y=(x﹣1)2﹣4=x2﹣2x﹣3.故答案为:y=x2﹣2x﹣3;

(2)令x=0,∴y=﹣3,∴C(0,﹣3),y=0,∴x2﹣2x﹣3=0,∴x=﹣1x=3,∴A(﹣1,0),B(3,0),∴不等式x2+bx+ckx+m的解集为x<0>3.故答案为:x<0>3;

(3)如图1.∵四边形POPC为菱形,∴PO=PC.∵C(0,﹣3),∴P的纵坐标为﹣.∵P在抛物线y=x2﹣2x﹣3,∴﹣=x2﹣2x﹣3,∴x=x=(舍),∴P.﹣);

(4)如图2,由(1)知B(3,0),C(0,﹣3),∴直线BC的解析式为y=x﹣3,过点PPEy轴交BCEPmm2﹣2m﹣3),(0<m<3)

Emm﹣3),∴PE=m﹣3﹣(m2﹣2m﹣3)=﹣m2+3m.∵A(﹣1,0),B(3,0),C(0,﹣3),∴S四边形ABPC=SABC+SPCE+SPBE=ABOC+PE|xP|+PE|xBxP|

=ABOC+PE(|xP|+|xBxP|)=×4×3+(﹣m2+3m)×(m+3﹣m

=6+×(﹣m2+3m)=﹣m2+

m=S四边形ABPC最大=

m=m2﹣2m﹣3=,∴P).

(5)如图由(1)知B(3,0),C(0,﹣3),D(1,﹣4),∴直线BC的解析式为y=x﹣3,直线BD的解析式为y=2x﹣6,直线CD的解析式为y=﹣x﹣3.∵PCDB为顶点的四边形为梯形.∵抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3①;

DP1BC,∴直线DP1的解析式为y=x﹣5②,联立①②解得P1(2,﹣3),[另一个点为(1,﹣4)和点D重合舍去]

CP2BD,∴直线CP2的解析式为y=2x﹣3③,联立①③解得点P2(4,5)

BP3CD,∴直线BP3CD的解析式为y=﹣x+3④,联立①④解得点P3(﹣2,5).

综上所述PCDB为顶点的四边形为梯形时P的坐标为(﹣2,5)、(2,﹣3)或(4,5).

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