Question

【题目】心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）：

（1）求出线段AB，曲线CD的解析式，并写出自变量的取值范围；

（2）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？

（3）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？

Answer 1

【答案】（1）AB解析式为：y1=2x+20（0≤x≤10）．曲线CD的解析式为：y2=（x≥25）；（2）第30分钟注意力更集中．（3）经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．

【解析】

（1）利用待定系数法分别求出AB和CD的函数表达式，进而得出答案；

（2）利用（1）中所求解析式，计算出第五分钟和第三十分钟的注意力指数，最后比较判断；

（3）分别求出注意力指数为36时的两个时间，再将两时间之差和19比较，大于19则能讲完，否则不能．

（1）设线段AB所在的直线的解析式为y1=k1x+20，

把B（10，40）代入得，k1=2，

∴AB解析式为：y1=2x+20（0≤x≤10）．

设C、D所在双曲线的解析式为y2=，

把C（25，40）代入得，k2=1000，

∴曲线CD的解析式为：y2=（x≥25）；

（2）当x1=5时，y1=2×5+20=30，

当x2=30时，y2=，

∴y1＜y2

∴第30分钟注意力更集中．

（3）令y1=36，

∴36=2x+20，

∴x1=8

令y2=36，

∴36=，

∴x2=≈27.8，

∵27.8-8=19.8＞19，

∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．