Question

如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A=90°，AB=AC，A（-2，0），B（0，1）、C（d，2）
（1）求d的值；
（2）将△ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B，C两点的对应点B′，C′正好落在某反比例函数图象上，请求出这个反比例函数和此时的直线B′C′的解析式；
（3）在（2）的条件下，直线B′C′交y轴于点G，问是否存在x轴上的点M和反比例函数图象上的P，使得四边形PGMC′是平行四边形？如果存在，请求出点M和点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
友情提示：已知P（x₁，y₁），Q （x₂，y₂），线段PQ的中点坐标（）

Answer 1

解：（1）作CN⊥x轴于点N．
∵在Rt△CNA和Rt△AOB中，
，
∴Rt△CNA≌Rt△AOB（HL），
则AN=BO=1，NO=NA+AO=3，且点C在第二象限，
∴d=-3；

（2）设反比例函数为y=，点C′和B′在该比例函数图象上，
设C′（m，2），则B′（m+3，1）
把点C′和B′的坐标分别代入y=，得k=2m；k=m+3，
∴2m=m+3，m=3，则k=6，反比例函数解析式y=．
得点C′（3，2）；B′（6，1）．
设直线C′B′的解析式为y=ax+b，把C′、B′两点坐标代入得：
，
解得：；
∴直线C′B′的解析式为y=-x+3；

（3）设P点坐标为（x，y），
∵直线C′B′的解析式为y=-x+3，
∴x=0时，y=3，
∴G点坐标为：（0，3），
①当∠PGB′=90°时，
∴PG²+GB′²=PB′²，
∴（y-3）²+x²+6²+（3-1）²=（6-x）²+（y-1）²，
∵y=，
∴（-3）²+x²+6²+（3-1）²=（6-x）²+（-1）²，
解得：x₁=-2，x₂=1，
∴当x=-2时，y=-3，当x=1时，y=6，
∴P（1，6），P′（-2，-3），
②当∠P″B′G=90°时，
∴P″B′²+GB′²=GP″²，
∴（6-x）²+（y-1）²+6²+（3-1）²=（y-3）²+x²，
∵y=，
∴（6-x）²+（-1）²+6²+（3-1）²=（-3）²+x²
解得：x₃=-，x₄=6，
∴当x=-时，y=-18，
∴P″（-，-18），
当x=6时，y=1，P与B′重合舍去，
综上所述，P点坐标为：P（1，6），P′（-2，-3），P″（-，-18）．
分析：（1）过C作CN垂直于x轴，交x轴于点N，由A、B及C的坐标得出OA，OB，CN的长，再证明Rt△CNA≌Rt△AOB，由∠CAB=90°，根据全等三角形的对应边相等可得出CN=0A，AN=0B，由AN+OA求出ON的长，再由C在第二象限，可得出d的值；
（2）由第一问求出的C与B的横坐标之差为3，根据平移的性质得到纵坐标不变，故设出C′（m，2），则B′（m+3，1），再设出反比例函数解析式，将C′与B′的坐标代入得到关于k与m的两方程，消去k得到关于m的方程，求出方程的解得到m的值，即可确定出k的值，得到反比例函数解析式，设直线B′C′的解析式为y=ax+b，将C′与B′的坐标代入，得到关于a与b的二元一次方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可确定出直线B′C′的解析式；
（3）此问题要分两种情况①当∠PGB′=90°时，PG²+GB′²=PB′²，②当∠P″B′G=90°时，P″B′²+GB′²=GP″²，然后利用勾股定理分别进行计算即可．
点评：此题主要考查了反比例函数的综合运用，以及全等三角形的判定与性质，勾股定理，坐标与图形性质，利用待定系数法求函数解析式，平移的性质，是一道综合性较强的试题，要求学生掌握知识要全面．