Question

9．圆锥底面半径是R，母线长是3R，M是底面圆周上一点，从点M拉一根绳子绕圆锥一圈，再回到M点，求这根绳子的最短长度．

Answer 1

分析 圆锥的侧面展开图是扇形，从A点出发绕侧面一周，再回到A点的最短的路线即展开得到的扇形的弧所对弦，转化为求弦长的问题．

解答 解：如图所示；

∵圆锥底面半径为R，母线长是底面半径的3R倍，
∴根据弧长公式得到2πR=$\frac{nπ×3R}{180}$，
∴n=120°，
∴动点P自A出发在侧面上绕一周到A点的最短路程为弧所对的弦长AA′=2×3Rsin60°=3$\sqrt{3}$R．

点评 考查了平面展开-最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．