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【题目】如图1,在四边形ABCD中,∠DAB被对角线AC平分,且AC2=AB·AD,我们称该四边形为“可分四边形”,∠DAB称为“可分角”.

(1)如图2,四边形ABCD为“可分四边形”,∠DAB为“可分角”,如果∠DCB=∠DAB,则∠DAB=_________.

(2)如图3,在四边形ABCD中,∠DAB=60°,AC平分∠DAB,且∠BCD=150°,求证:四边形ABCD为“可分四边形”;

(3)现有四边形ABCD为“可分四边形”,∠DAB为“可分角”,且AC=4,BC=2,∠D=90°,求AD的长?

图1 图2 图3

【答案】(1)(2)证明见解析(3)

【解析】试题分析:(1)、根据“可分四边形”和“可分角”的定义得出答案;(2)、根据角平分线的性质得出∠DAC=∠CAB=30°,∠DCA=150°-∠ACB,然后根据角度之间的关系得出∠ADC=∠ACB,从而说明△ACD和△ABC相似,从而得出结论;(3)、根据“可分四边形”和“可分角”的性质得出∠DAC=∠CAB, ,从而说明△ACD和△ABC相似,根据相似得出∠ACB=∠D=90°,然后根据勾股定理求出AB的长度,结合得出AD的长度.

试题解析:(1)

(2)∵AC平分∠DAB,∠DAB=60° ∴∠DAC=∠CAB=30° ∵∠DCB=150°

∴∠DCA=150°-∠ACB

在△ADC中,∠ADC=180°- ∠DAC- ∠DCA =180°-30°-(150°-∠ACB)=∠ACB

∴△ACD∽△ABC ∴, 即证四边形ABCD为“可分四边形”

(3)∵四边形ABCD为“可分四边形”,∠DAB为“可分角”∴AC平分∠DAB,

即∠DAC=∠CAB, ∴△ACD∽△ABC ∴∠ACB=∠D=90°

在Rt△ACB中AB= ∴AD=

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