Question

13．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，以OA为直径的⊙D与AC相交于点E．
（1）试判断线段OE与线段BC的关系，并说明理由；
（2）若F为BC边上的中点，试判定四边形OFCE的形状．

Answer 1

分析 （1）先由圆周角定理得出∠ACB=AEO=90°得出OE∥BC，再由点O是AB的中点可知，OE是△ABC的中位线，由三角形的中位线定理即可得出结论；
（2）由点O是AB的中点，F为BC边上的中点可知，OF是△ABC的中位线，由三角形的中位线定理得出OF∥AC，从而得出∠OFC=∠ACB=90°，即可证得四边形OFCE是矩形．

解答 解：（1）OE∥BC，OE=$\frac{1}{2}$BC；
∵AB是⊙O的直径，AO是⊙D的直径，
∴∠ACB=AEO=90°，
∴OD∥BC，
∵点O是AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥BC，OE=$\frac{1}{2}$BC；
（2）四边形OFCE是矩形；
∵点O是AB的中点，F为BC边上的中点，
∴OF∥AC，
∴∠OFC=∠ACB=90°，
∵∠ACB=AEO=90°，
∴四边形OFCE是矩形．

点评 本题考查了圆周角定理、三角形中位线定理、矩形的判定等，熟练掌握圆周角定理、三角形中位线定理是解题的关键．