【题目】我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.例如图1,图2,图3中,AF,BE是△ABC的中线, AF⊥BE , 垂足为P.像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”.设,
,
.
特例探索
(1)如图1,当∠=45°,
时,
= ,
;
如图2,当∠=30°,
时,
= ,
;
归纳证明
(2)请你观察(1)中的计算结果,猜想三者之间的关系,用等式表示出来,
并利用图3证明你发现的关系式;
拓展应用
(3)如图4,在□ABCD中,点E,F,G分别是AD,BC,CD的中点,BE⊥EG, AD=,AB=6.
求AF的长.
【答案】(1)图1:a=,b=
;图2:a=
,b=
;(2)猜想:a2+b2=5c2,理由见解析;(3)AF=7.
【解析】
试题分析:(1)利用特殊角的三角函数值和勾股定理求出AE的长,然后可求出图中a、b的值;(2)设PE=m,PF=n,那么PB=2m,PA=2n,然后根据勾股定理用m、n表示出AE2,AC2,BC2, AB2=PA2+PB2,观察它们之间的关系,可得出结论;(3)连接AC,交BE于点P,取AB中点H,连接FH,交BE于点Q,然后根据中位线定理的长FG∥AC,FH∥AC,∠1=∠2=∠3=90°,根据条件证明△ARE≌△FRB从而得出AR=FR,进而证明△ABF是“中垂三角形”,然后利用(2)中结论求出AF的长.
试题解析:(1)图1:a=,b=
;图2:a=
,b=
(2)猜想:a2+b2=5c2
设PE=m,PF=n,那么PB=2m,PA=2n.
根据勾股定理得:AE2=PE2+PA2=m2+(2n)2=m2+4n2
∴AC2=(2AE)2=4AE2=4(m2+4n2)=4m2+16n2=b2
同理BC2=(2BF2)=4BF2=4(n2+4m2)=4n2+16m2=a2
∴a2+b2=(4n2+16m2)+ (4m2+16n2)=20m2+20n2=5(4m2+4n2)
又∵AB2=PA2+PB2=(2n)2+(2m)2=4m2+4n2=c2
∴a2+b2=5c2
(3)连接AC,交BE于点P,取AB中点H,连接FH,交BE于点Q.
∵E,G分别是AD,CD的中点
∴FG是△ACD的中位线,∴FG∥AC
又∵BE⊥EG,∴∠1=90°,∴∠2=90°
同理FH是△ABC的中位线,FH∥AC
∴∠3=∠2=90°
又可以证得△ARE≌△FRB,
∴AR=FR
∴
∴△ABF是“中垂三角形”.
∴AB2+AF2=5BF2,∴62+AF2=5()2,∴AF=7
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【题目】学校有n名师生乘坐m辆客车外出参观,若每辆客车坐45人,则还有28人没有上车;若每辆客车坐50人,则空出一辆客车,并且有一辆还可以坐12人.下列五个方程:
①45m+28=50(m﹣1)﹣12; ②45m+28=50m﹣(12+50); ③;④
; ⑤45m+28=50(m﹣2)+38.其中正确的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】某学校“体育课外活动兴趣小组”,开设了以下体育课外活动项目:A.足球 B.乒乓球C.羽毛球 D.篮球,为了解学生最喜欢哪一种活动项目,随机抽取了部分学生进行调查,并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图,请回答下列问题:
(1)这次被调查的学生共有 人,在扇形统计图中“D”对应的圆心角的度数为 ;
(2)请你将条形统计图补充完整;
(3)在平时的乒乓球项目训练中,甲、乙、丙、丁四人表现优秀,现决定从这四名同学中任选两名参加市里组织的乒乓球比赛,求恰好选中甲、乙两位同学的概率(用树状图或列表法解答).
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【题目】某单位招聘员工,采取笔试与面试相结合的方式进行,两项成绩的原始分均为100分.前6名选手的得分如下:
序号 项目 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
笔试成绩/分 | 85 | 92 | 84 | 90 | 84 | 80 |
面试成绩/分 | 90 | 88 | 86 | 90 | 80 | 85 |
根据规定,笔试成绩和面试成绩分别按一定的百分比折合成综合成绩(综合成绩的满分仍为100分).
(1)这6名选手笔试成绩的中位数是________分,众数是________分;
(2)现得知1号选手的综合成绩为88分,求笔试成绩和面试成绩各占的百分比;
(3)求出其余五名选手的综合成绩,并以综合成绩排序确定前两名人选.
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【题目】已知在数轴上有、
两点,点
表示的数为
,点
在
点的左边,且
.若有一动点
从数轴上点
出发,以每秒
个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,动点
从点
出发,以每秒
个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动,设运动时间为
秒,解决以下问题:
(1)写出数轴上点所表示的数;
(2)当秒时,写出数轴上点
,
所表示的数;
(3)若点,
分别从
、
两点同时出发,问运动多少秒后点
与点
相距
个单位长度?
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【题目】星期天天气晴好,小米骑自行车向宁波登山基地九峰山出发,由于太匆忙,出发半个小时后,他爸爸发现他把可以免费进入景区的证件落在家里,于是,他立即开摩托车去追,已知小米骑自行车的平均速度为千米/时,摩托车的平均速度为
千米/时.
(1)求出爸爸多长时间能追上小米?
(2)若爸爸出发的同时手机通知小米掉头回来,那么爸爸多久与小米相遇?
(3)若爸爸出发的同时手机通知小米掉头来取,结果爸爸出发十分钟还没有遇到小米,手机联系才发现他俩已经错开了一段距离了,这时他们又赶紧掉头,问爸爸从家里出发到送证件成功共花了多少时间?
(4)小米继续骑自行车,他留意到每隔分钟有一辆某路公交车从他身后驶向前面,假设小米的平均速度是
千米/时,公交车的的平均速度为
千米/时.小米就想:每隔几分钟从车站开出一辆该路公交车呢?请你帮小米求岀.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,4),B(4,2),C(3,5)(每个方格的边长均为1个单位长度).
(1)请画出△A1B1C1,使△A1B1C1与△ABC关于x轴对称;
(2)将△ABC绕点O逆时针旋转90°,画出旋转后得到的△A2B2C2,并直接写出点B旋转到点B2所经过的路径长.
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【题目】已知是最大的负整数,
是
的倒数,
比
小1,且
、
、
分别是点
、
、
在数轴上对应的数.若动点
从点
出发沿数轴正方向运动,动点
同时从点
出发沿数轴负方向运动,点
的速度是每秒3个单位长度,点
的速度是每秒1个单位长度.
(1)在数轴上标出点、
、
的位置;
(2)运动前、
两点之间的距离为 ;运动t秒后,点
,点
运动的路程分别为 和 ;
(3)求运动几秒后,点与点
相遇?
(4)在数轴上找一点,使点
到
、
、
三点的距离之和等于11,直接写出所有点
对应的数.
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【题目】如图,正△ABC的边长为2,过点B的直线l⊥AB,且△ABC与△A′BC′关于直线l对称,D为线段BC′上一动点,则AD+CD的最小值是( )
A. 4 B. 3 C. 2
D. 2+
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