Question

【题目】我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线， AF⊥BE ， 垂足为P．像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设，，．

特例探索

（1）如图1，当∠=45°，时，= ， ；

如图2，当∠=30°，时， = ， ；

归纳证明

（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想三者之间的关系，用等式表示出来，

并利用图3证明你发现的关系式；

拓展应用

（3）如图4，在□ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG， AD=，AB=6．

求AF的长．

Answer 1

【答案】（1）图1：a=，b=；图2：a=，b=；（2）猜想：a2+b2=5c2，理由见解析；（3）AF=7．

【解析】

试题分析：（1）利用特殊角的三角函数值和勾股定理求出AE的长，然后可求出图中a、b的值；（2）设PE=m，PF=n，那么PB=2m，PA=2n，然后根据勾股定理用m、n表示出AE2，AC2，BC2， AB2=PA2+PB2，观察它们之间的关系，可得出结论；（3）连接AC，交BE于点P，取AB中点H，连接FH，交BE于点Q，然后根据中位线定理的长FG∥AC，FH∥AC，∠1=∠2=∠3=90°，根据条件证明△ARE≌△FRB从而得出AR=FR，进而证明△ABF是“中垂三角形”，然后利用（2）中结论求出AF的长．

试题解析：（1）图1：a=，b=；图2：a=，b=

（2）猜想：a2+b2=5c2

设PE=m，PF=n，那么PB=2m，PA=2n．

根据勾股定理得：AE2=PE2+PA2=m2+（2n）2=m2+4n2

∴AC2=（2AE）2=4AE2=4（m2+4n2）=4m2+16n2=b2

同理BC2=（2BF2）=4BF2=4（n2+4m2）=4n2+16m2=a2

∴a2+b2=（4n2+16m2）+ （4m2+16n2）=20m2+20n2=5（4m2+4n2）

又∵AB2=PA2+PB2=（2n）2+（2m）2=4m2+4n2=c2

∴a2+b2=5c2

（3）连接AC，交BE于点P，取AB中点H，连接FH，交BE于点Q．

∵E，G分别是AD，CD的中点

∴FG是△ACD的中位线，∴FG∥AC

又∵BE⊥EG，∴∠1=90°，∴∠2=90°

同理FH是△ABC的中位线，FH∥AC

∴∠3=∠2=90°

又可以证得△ARE≌△FRB，

∴AR=FR

∴BR和FH都是△ABF的中线并且BR⊥FH，

∴△ABF是“中垂三角形”．

∴AB2+AF2=5BF2，∴62+AF2=5（）2，∴AF=7