Question

【题目】如图，点B在线段AC上，点E在BD上，∠ABD＝∠DBC，AB＝BD，BE＝BC，M，N分别是AE，CD的中点，连接MN，请判断△MBN的形状，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】△MBN是等腰直角三角形，理由见详解．

【解析】

根据SAS推出△ABE≌△DBC，推出AE＝DC，再根据直角三角形斜边直线性质求得BM＝BN，结合已知条件可证明△BAM≌△BDN，然后全等三角形的性质可得到∠ABM＝∠DBN，最后由∠MBE+∠DBN＝90°可得到问题的答案．

解：△MBN是等腰直角三角形．理由如下：

在△ABE和△DBC中

，

∴△ABE E≌△DBC（SAS），

∴AE＝CD，

∵M、N分别是AE、CD的中点，

∴BM＝AE＝AM，BN＝DC＝DN，

∴BM＝BN＝AM＝DN，

在△ABM和△DBN中，

，

∴△BAM≌△BDN（SSS），

∴∠ABM＝∠DBN，

∵∠ABD＝∠DBC，∠ABD+∠DBC＝180°

∴∠ABD＝∠ABM+∠MBE＝90°，

∴∠MBE+∠DBN＝90°，

即：BM⊥BN，

∴BM＝BN，BM⊥BN，

∴△MBN是等腰直角三角形．