Question

3．已知抛物线：y₁=-$\frac{1}{2}x^2+2x$
（1）求抛物线y₁的顶点坐标．
（2）将抛物线y₁向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线y₂，求抛物线y₂的解析式．
（3）如图，抛物线y₂的顶点为P，x轴上有一动点M，在y₁、y₂这两条抛物线上是否存在点N，使O（原点）、P、M、N四点构成以OP为一边的平行四边形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．
[提示：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴是x=-$\frac{b}{2a}$顶点坐标是（-$\frac{b}{2a}，\frac{4ac-b^2}{4a}$）]．

Answer 1

分析 （1）直接根据抛物线的顶点坐标公式即可得出结论；
（2）根据二次函数平移的性质求出平移后的顶点坐标，进而可得出其解析式；
（3）先判断出N所在的位置，再分点N在抛物线y₁上与点N在抛物线y₂上两种情况进行讨论．

解答 解：（1）∵依题意a=-$\frac{1}{2}$，b=，2c=0，
∴-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{2}{2×（-\frac{1}{2}）}$=2，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=$\frac{0-{2}^{2}}{4×（-\frac{1}{2}）}$=2，
∴顶点坐标是（2，2）；

（2）∵y₂解析式中的二次项系数为-$\frac{1}{2}$，且y₂的顶点坐标是（4，3）
∴y₂=-$\frac{1}{2}$（x-4）²+3，即：y₂=-$\frac{1}{2}$x²+4x-5；

（3）符合条件的N点存在
如图：若四边形OPMN为符合条件的平行四边形，则OP∥MN，且OP=MN，∠POA=∠BMN，
作PA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B，
∴∠PAO=∠MBN=90°，
在△POA与△NMB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}∠POA=∠BMN\\∠PAO=∠MBN\\ OP=MN\end{array}\right.$，
∴△POA≌△NMB（AAS），
∴PA=BN．
∵点P的坐标为（4，3），
∴NB=PA=3，
∵点N在抛物线y₁、y₂上，且P点为y₁、y₂的最高点，
∴符合条件的N点只能在x轴下方
①点N在抛物线y₁上，则有：-$\frac{1}{2}$x²+2x=-3
解得：x=2-$\sqrt{10}$或x=2+$\sqrt{10}$，
②点N在抛物线y₂上，则有：-$\frac{1}{2}$（x-4）²+3=-3，
解得：x=4-2$\sqrt{3}$或x=4+2$\sqrt{3}$．
∴符合条件的N点有四个：N₁（2-$\sqrt{10}$，-3），N₂（4-2$\sqrt{3}$，-3），N₃（2+$\sqrt{10}$，-3），N₄（4+2$\sqrt{3}$，-3）．

点评 本题考查的是二次函数综合题，涉及到二次函数图象上点的坐标特点、平行四边形的判定与性质等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论．