Question

如图，已知∠MON=45°，OA₁=1，作正方形A₁B₁C₁A₂，面积记作S₁；再作第二个正方形A₂B₂C₂A₃，面积记作S₂；继续作第三个正方形A₃B₃C₃A₄，面积记作S₃；点A₁、A₂、A₃、A₄…在射线ON上，点B₁、B₂、B₃、B₄…在射线OM上，…依此类推，则第4个正方形的面积S₄=

 

，第n个正方形的面积S_n=

 

．

Answer 1

考点：正方形的性质

专题：规律型

分析：判断出△OA₁B₁是等腰直角三角形，求出第一个正方形A₁B₁C₁A₂的边长为1，再求出△B₁C₁B₂是等腰直角三角形，再求出第2个正方形A₂B₂C₂A₃的边长为2，然后依次求出第3个正方形的边长，第4个正方形的边长第5个正方形的边长，第6个正方形的边长，再根据正方形的面积公式列式计算即可得解．

解答：解：∵∠MON=45°，
∴△OA₁B₁是等腰直角三角形，
∵OA₁=1，
∴正方形A₁B₁C₁A₂的边长为1，第1个正方形的面积S₁=1
∵B₁C₁∥OA₂，
∴∠B₂B₁C₁=∠MON=45°，
∴△B₁C₁B₂是等腰直角三角形，
∴正方形A₂B₂C₂A₃的边长为：1+1=2，第2个正方形的面积S₂=4
同理，第3个正方形A₃B₃C₃A₄的边长为：2+2=4，第3个正方形的面积S₃=16
第4个正方形A₄B₄C₄A₅的边长为：4+4=8，第4个正方形的面积S₄=64
第5个正方形A₅B₅C₅A₆的边长为：8+8=16，第5个正方形的面积S₅=256
第6个正方形A₆B₆C₆A₇的边长为：16+16=32，第6个正方形的面积S₆=1024．
所以第n个正方形的面积S_n=2^2n-2．
故答案为：64；2^2n-2．

点评：本题考查了正方形性质，等腰直角三角形的判定和性质，得出后一个正方形的边长是前一个正方形边长的2倍是解题的关键．