Question

【题目】我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形

（1）概念理解

①根据上述定义举一个等补四边形的例子：

②如图1，四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠A+∠C＝180°，求证：四边形ABCD是等补四边形

（2）性质探究：

③小明在探究时发现，由于等补四边形有一组对角互补，可得等补四边形的四个顶点共圆，如图2，等补四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD，则∠ACD　 　∠ACB（填“＞”“＜”或“＝“）；

④若将两条相等的邻边叫做等补四边形的“等边”，等边所夹的角叫做“等边角”，它所对的角叫做“等边补角”连接它们顶点的对角线叫做“等补对角线”，请用语言表述③中结论：　 　

（3）问题解决

在等补四边形ABCD中，AB＝BC＝2，等边角∠ABC＝120°，等补对角线BD与等边垂直，求CD的长．

Answer 1

【答案】（1）①正方形；②详见解析；（2）③＝；④等补四边形的“等补对角线”平分“等边补角”；（3）CD的值为2或4．

【解析】

（1）①正方形是等补四边形．②如图1中，作DM⊥BA于M，DN⊥BC于N，则∠DMA＝∠DNC＝90°，证明△ADM≌△CDN（AAS），推出AD＝DC，即可解决问题．

（2）③根据弦，弧，圆周角之间的关系解决问题即可．④根据“等补对角线”，“等边补角”等定义，利用③中结论即可解决问题．

（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当BD⊥AB时．②如图3﹣2中，当BD⊥BC时，分别求解即可．

（1）①解：正方形是等补四边形．

②证明：如图1中，作DM⊥BA于M，DN⊥BC于N，则∠DMA＝∠DNC＝90°，

∵∠A+∠BCD＝180°，∠BCD+∠DCN＝180°，

∴∠A＝∠DCN，

∵BD平分∠ABC，

∴DM＝DN，

在△ADM和△CDN中，

，

∴△ADM≌△CDN（AAS），

∴AD＝DC，

∴四边形ABCD是等补四边形．

（2）③解：如图2中，

∵AD＝AB，

∴＝，

∴∠ACD＝∠ACB．

故答案为＝．

④解：由题意，等补四边形的“等补对角线”平分“等边补角”．

故答案为等补四边形的“等补对角线”平分“等边补角”．

（3）解：如图3﹣1中，当BD⊥AB时，

∵∠ADC+∠ABC＝180°，∠ABC＝120°，

∴∠ADC＝60°，

∵∠ABD＝90°，

∴AD是⊙O的直径，

∴∠ACD＝90°，

∴∠DAC＝∠DBC＝30°，

∵BA＝BC，∠ABC＝120°，

∴∠BAC＝∠ACB＝30°，

∴∠BAC＝∠BDC＝30°，

∴∠CBD＝∠CDB，

∴DC＝BC＝2．

如图3﹣2中，当BD⊥BC时，

∵∠DBC＝90°，

∴CD是⊙O的直径，

∵BA＝BC，∠ABC＝120°，

∴∠BAC＝∠ACB＝30°，

∴∠BAC＝∠BDC＝30°，

∴CD＝2BC＝4，

综上所述，满足条件的CD的值为2或4．