【题目】如图,线段BC和动点A构成△ABC,∠BAC=120°,BC=3,则△ABC周长的最大值_____.
【答案】3+2
【解析】
延长BA到D,使AD=AC,连接CD,作△BCD的外接圆⊙O,当BD的长度最大时,△ABC周长最大,而BD为⊙O的直径时,BD最大.设⊙O的半径为r,连接OB,OC,过点O作OE⊥BC于点E,根据垂径定理得出BE的长,再用正弦函数得出OB的长度,则BD的最大值可得,从而△ABC周长的最大值可得.
延长BA到D,使AD=AC,连接CD,作△BCD的外接圆⊙O,
∵AD=AC,
∴△ABC的周长为:AB+BC+AC=AB+BC+AD=BD+BC.
∵BC=3,
∴当BD的长度最大时,△ABC周长最大,
∴当点A与点O重合时,BD为⊙O的直径,BD最大.
设⊙O的半径为r,连接OB,OC,过点O作OE⊥BC于点E,
∵∠BAC=120°,
∴∠BOE=∠AOB=60°.
∵BC=3,OE⊥BC,
∴BE=,
∴=sin60°,
∴
∴r=,
∴BD的最大值为2r=2.
∴△ABC周长的最大值为3+2.
故答案为:3+2.
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【题目】在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,1),点B的坐标为(2,9),点C到直线AB的距离为4,且△ABC是直角三角形,则满足条件的点C有_____个.
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【题目】如图所示,已知矩形ABCD,AB=4,AD=3,点E为边DC上不与端点重合的一个动点,连接BE,将BCE沿BE翻折得到BEF,连接AF并延长交CD于点G,则线段CG的最大值是( )
A.1B.1.5C.4-D.4-
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【题目】我们定义:有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形
(1)概念理解
①根据上述定义举一个等补四边形的例子:
②如图1,四边形ABCD中,对角线BD平分∠ABC,∠A+∠C=180°,求证:四边形ABCD是等补四边形
(2)性质探究:
③小明在探究时发现,由于等补四边形有一组对角互补,可得等补四边形的四个顶点共圆,如图2,等补四边形ABCD内接于⊙O,AB=AD,则∠ACD ∠ACB(填“>”“<”或“=“);
④若将两条相等的邻边叫做等补四边形的“等边”,等边所夹的角叫做“等边角”,它所对的角叫做“等边补角”连接它们顶点的对角线叫做“等补对角线”,请用语言表述③中结论:
(3)问题解决
在等补四边形ABCD中,AB=BC=2,等边角∠ABC=120°,等补对角线BD与等边垂直,求CD的长.
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【题目】如图,在菱形ABCD中,对角线相交于点M,已知,点E在射线上,,点P从点B出发,以每秒个单位的速度沿BD方向向终点D匀速运动,过点作交射线于点,以为邻边构造平行四边形,设点的运动时间为;
(1);
(2)求点落在上时的值;
(3)求平行四边形与重叠部分面积S与之间的函数关系式;
(4)连接平行四边形的对角线,设与交于点,连接,当与的边平行(不重合)或垂直时,直接写出的值.
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【题目】已知二次函数L与y轴交于点C(0,3),且过点(1,0),(3,0).
(1)求二次函数L的解析式及顶点H的坐标
(2)已知x轴上的某点M(t,0);若抛物线L关于点M对称的新抛物线为L′,且点C、H的对应点分别为C′,H′;试说明四边形CHC′H′为平行四边形.
(3)若平行四边形的边与某一条对角线互相垂直时,称这种平行四边形为“和谐四边形”;在(2)的条件下,当平行四边形CHC′H′为“和谐四边形”时,求t的值.
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【题目】如图,在△ABC中,∠BAC=90°,E为边BC上的点,且AB=AE,D为线段BE的中点,过点E作EF⊥AE,过点A作AF∥BC,且AF、EF相交于点F.
(1)求证:∠C=∠BAD;
(2)求证:AC=EF.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于、B两点,与y轴交点C的坐标为,为抛物线顶点,连结AD,点M为线段AD上动点(不含端点),BM与y轴交于点N.
(1)求抛物线解析式;
(2)是否存在点M使得与相似,若存在请求出点M的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)求当BM将四边形ABCM分为面积相等的两部分时ON的长度.
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【题目】一辆慢车和一辆快车沿相同路线从A地到B地,所行驶的路程与时间的函数图象如图所示,下列说法正确的有( )
①快车追上慢车需6小时;
②慢车比快车早出发2小时;
③快车速度为46km/h;
④慢车速度为46km/h;
⑤AB两地相距828km;
A.2个B.3个C.4个D.5个
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