Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交点C的坐标为，为抛物线顶点，连结AD，点M为线段AD上动点（不含端点），BM与y轴交于点N．

（1）求抛物线解析式；

（2）是否存在点M使得与相似，若存在请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）求当BM将四边形ABCM分为面积相等的两部分时ON的长度．

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，M坐标为，，；（3）

【解析】

（1）将代入解析式解方程即可；

（2）两三角形相似有两种对应关系，当时满足题意，设M坐标代入AC解析式即可，当时也满足题意，根据相似三角形列比例式求解即可；

（3）设点M坐标，利用铅垂线法求两个三角形面积，利用相等条件列方程求解即可.

解：（1）将代入解析式得：

，

解得：，

∴抛物线解析式为；

（2）存在

理由：，

，

设直线解析式为，

将代入得，

，

解得：，

∴直线解析式为，

当时，

，，

设，代入得，

，

解得：，

；

当时，，

作直线轴交x轴与点E，作直线交ME轴与点F，

，

，

又，

，

，

，

设，又，

∴可得，

，

，

即，

解得：，

或，

综上当M坐标为，，时，满足题意；

（3）作轴交于点G，

设直线BC解析式为，

将代入解析式得，

，

解得，

∴直线BC解析式为，

设，

则，

将代入直线BC解析式得，

，

，

，

，

，

由题意得，

解得，

，

设直线BM的解析式为，

将代入BM解析式得，

，

解得，

，